Produit par un réel et colinéarité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$\vec{v} = 3\vec{u}$ . Que peut-on dire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?

Ils sont colinéaires
Ils sont égaux

L'idée clé

Multiplier change la longueur, et parfois le sens.

Figure non à l'échelle

$k\vec{u}$ a la direction de $\vec{u}$ , une longueur multipliée par $|k|$ , le même sens si $k > 0$ , le sens contraire si $k < 0$ .

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ . Tout vecteur s'écrit comme combinaison de deux vecteurs non colinéaires.

Exemple corrigé

$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ .

A

,

B

,

C

sont alignés.

Colinéaires.

AC = 2AB

Longueur.

À toi, guidé

À toi : si $\vec{v} = -2\vec{u}$ et $\|\vec{u}\| = 3$ , que vaut $\|\vec{v}\|$ ?

6

2 × 3.

Entraînement ★

$\vec{v} = -2\vec{u}$ et $\|\vec{u}\| = 8$ . Calcule $\|\vec{v}\|$ .
$\vec{v} = -7\vec{u}$ et $\|\vec{u}\| = 6$ . Calcule $\|\vec{v}\|$ .
$\vec{v} = -9\vec{u}$ et $\|\vec{u}\| = 2$ . Calcule $\|\vec{v}\|$ .

Attention !

Entraînement ★★

$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ et $AB = 1$ . Calcule $AC$ .
$\overrightarrow{AC} = 4\overrightarrow{AB}$ et $AB = 1$ . Calcule $AC$ .

$\vec{v} = 4\vec{u}$ . Que peut-on dire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?
1. Ils sont colinéaires
2. Ils sont orthogonaux
3. Ils sont égaux

$\vec{u}(2 ; 3)$ . Quelle est l'abscisse de $3\vec{u}$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$\vec{v} = -2\vec{u}$ et $\|\vec{u}\| = 8$ . Calcule $\|\vec{v}\|$ .
$\vec{v} = -7\vec{u}$ et $\|\vec{u}\| = 6$ . Calcule $\|\vec{v}\|$ .
$\vec{v} = -9\vec{u}$ et $\|\vec{u}\| = 2$ . Calcule $\|\vec{v}\|$ .

Fiche résumé

Colinéarité

$\vec{v} = k\vec{u}$ .
Alignement : $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ .

Attention : colinéaires ne veut pas dire égaux.

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