Lois à densité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$X$ suit une loi à densité. Que vaut $P(X = 2)$ ?

$0$
$f(2)$

L'idée clé

Une probabilité est une aire sous la courbe de densité.

$f$ est une densité sur $[a ; b]$ si $f \geq 0$ et $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = 1$ . Alors $P(c \leq X \leq d) = \displaystyle\int_c^d f(x)\,\mathrm{d}x$ .

$F(x) = P(X \leq x)$ est la fonction de répartition. $E(X) = \displaystyle\int_a^b xf(x)\,\mathrm{d}x$ et $V(X) = \displaystyle\int_a^b (x - E(X))^2f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Exemple corrigé

$f(x) = 2x$ sur $[0 ; 1]$ . Calcule $P(X \leq 0{,}5)$ et $E(X)$ .

P(X \leq 0{,}5) = 0{,}5^2 = 0{,}25

Primitive x².

E(X) = \displaystyle\int_0^1 2x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{2}{3}

Espérance.

À toi, guidé

À toi : $f$ est une densité sur $[0 ; 1]$ . Que vaut $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ ?

1

Aire totale.

Entraînement ★

$f(x) = 2x$ est une densité sur $[0 ; 1]$ . Calcule $P\left(X \leq \dfrac{1}{ 2 }\right)$ .
$f(x) = 2x$ est une densité sur $[0 ; 1]$ . Calcule $P\left(X \leq \dfrac{1}{ 5 }\right)$ .
$f(x) = 2x$ est une densité sur $[0 ; 1]$ . Calcule $P\left(X \leq \dfrac{1}{ 8 }\right)$ .

Attention !

Entraînement ★★

$f(x) = kx$ est une densité sur $[0 ; 7]$ . Trouve $k$ .
$f(x) = kx$ est une densité sur $[0 ; 6]$ . Trouve $k$ .

$X$ suit une loi à densité. Que vaut $P(X = 2)$ ?
1. 0
2. $f(2)$
3. 1

$f$ est constante, égale à $k$ , sur $[0 ; 6]$ , et c'est une densité. Que vaut $k$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$f(x) = 2x$ est une densité sur $[0 ; 1]$ . Calcule $P\left(X \leq \dfrac{1}{ 2 }\right)$ .
$f(x) = 2x$ est une densité sur $[0 ; 1]$ . Calcule $P\left(X \leq \dfrac{1}{ 5 }\right)$ .
$f(x) = 2x$ est une densité sur $[0 ; 1]$ . Calcule $P\left(X \leq \dfrac{1}{ 8 }\right)$ .

Fiche résumé

Lois à densité

Probabilité = aire sous la densité.
$P(X = a) = 0$ .

Attention : la densité n'est pas une probabilité.

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