Loi uniforme sur un intervalle

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques complémentaires › Lois à densité

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Loi uniforme sur un intervalle

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On choisit au hasard un nombre dans [0;10][0 ; 10]. Quelle est la probabilité qu'il soit entre 2 et 5 ?

  1. 0,30{,}3
  2. 33

L'idée clé

La densité est constante.

Loi uniforme sur [a;b][a ; b] : f(x)=1b−af(x) = \dfrac{1}{b - a}, P(c≤X≤d)=d−cb−aP(c \leq X \leq d) = \dfrac{d - c}{b - a}.

E(X)=a+b2E(X) = \dfrac{a + b}{2} et V(X)=(b−a)212V(X) = \dfrac{(b - a)^2}{12}.

Exemple corrigé

XX suit la loi uniforme sur [2;8][2 ; 8]. Calcule P(X≤5)P(X \leq 5) et E(X)E(X).

P(X≤5)=0,5P(X \leq 5) = 0{,}5
Longueur 3 sur longueur 6.
E(X)=5E(X) = 5
Milieu.

À toi, guidé

À toi : quelle est la densité de la loi uniforme sur [0;4][0 ; 4] ?

14\dfrac{1}{4}
1 / 4.

Entraînement ★

  1. XX suit la loi uniforme sur [4;9][4 ; 9]. Calcule P(X≤5)P(X \leq 5).
  2. XX suit la loi uniforme sur [5;10][5 ; 10]. Calcule P(X≤6)P(X \leq 6).
  3. XX suit la loi uniforme sur [4;10][4 ; 10]. Calcule P(X≤5)P(X \leq 5).

Attention !

Entraînement ★★

  1. XX suit la loi uniforme sur [1;3][1 ; 3]. Calcule E(X)E(X).
  2. XX suit la loi uniforme sur [6;16][6 ; 16]. Calcule E(X)E(X).
  1. XX suit la loi uniforme sur [5;7][5 ; 7]. Quelle est la valeur de sa densité sur cet intervalle ?
  1. XX suit la loi uniforme sur [2;9][2 ; 9]. Calcule P(3≤X≤6)P(3 \leq X \leq 6).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. XX suit la loi uniforme sur [4;9][4 ; 9]. Calcule P(X≤5)P(X \leq 5).
  2. XX suit la loi uniforme sur [5;10][5 ; 10]. Calcule P(X≤6)P(X \leq 6).
  3. XX suit la loi uniforme sur [4;10][4 ; 10]. Calcule P(X≤5)P(X \leq 5).

Fiche résumé

Uniforme

  • f=1b−af = \dfrac{1}{b - a}.
  • E=a+b2E = \dfrac{a + b}{2}.

Attention : une probabilité est un rapport de longueurs.

Fin de la leçon

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Corrigé: Loi uniforme sur un intervalle

A

  1. 15\frac{1}{5}
  2. 15\frac{1}{5}
  3. 16\frac{1}{6}

B

  1. 22
  2. 1111

C

  1. 12\frac{1}{2}

D

  1. 37\frac{3}{7}

E

  1. 15\frac{1}{5}
  2. 15\frac{1}{5}
  3. 16\frac{1}{6}

CC BY-SA 4.0