Succession d'épreuves indépendantes et arbres

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On lance deux fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir pile puis pile ?

$\dfrac{1}{4}$
$1$

L'idée clé

Une succession d'épreuves se représente par un arbre.

Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

Si les épreuves sont indépendantes, les probabilités de la seconde épreuve ne dépendent pas du résultat de la première.

Exemple corrigé

On choisit un élève ; $A$ : « il est interne », $P(A) = 0{,}4$ . Ensuite, $B$ : « il a réussi », avec $P_A(B) = 0{,}5$ et $P_{\bar{A}}(B) = 0{,}75$ . Calcule $P(B)$ .

0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2

Chemin passant par A.

0{,}6 \times 0{,}75 = 0{,}45

Chemin passant par Ā.

P(B) = 0{,}2 + 0{,}45 = 0{,}65

Formule des probabilités totales.

À toi, guidé

À toi : avec le même arbre, calcule $P_B(A)$ , sous forme de fraction.

\dfrac{4}{13}

P(A ∩ B) ÷ P(B) = 0,2 ÷ 0,65.

Entraînement ★

On répète deux épreuves indépendantes. $A$ a pour probabilité $\dfrac{1}{ 4 }$ à la première, et $B$ a pour probabilité $\dfrac{1}{ 4 }$ à la seconde. Calcule la probabilité d'obtenir $A$ puis $B$ .
On répète deux épreuves indépendantes. $A$ a pour probabilité $\dfrac{1}{ 6 }$ à la première, et $B$ a pour probabilité $\dfrac{1}{ 3 }$ à la seconde. Calcule la probabilité d'obtenir $A$ puis $B$ .
On répète deux épreuves indépendantes. $A$ a pour probabilité $\dfrac{1}{ 2 }$ à la première, et $B$ a pour probabilité $\dfrac{1}{ 4 }$ à la seconde. Calcule la probabilité d'obtenir $A$ puis $B$ .

Attention !

Entraînement ★★

$P(A) = \dfrac{ 4 }{5}$ , $P_A(B) = \dfrac{ 6 }{10}$ et $P_{\bar{A}}(B) = \dfrac{ 4 }{10}$ . Calcule $P(B)$ .
$P(A) = \dfrac{ 3 }{5}$ , $P_A(B) = \dfrac{ 7 }{10}$ et $P_{\bar{A}}(B) = \dfrac{ 4 }{10}$ . Calcule $P(B)$ .

On lance 3 fois de suite une épreuve indépendante, où $A$ a la probabilité $\dfrac{1}{ 2 }$ . Calcule la probabilité d'obtenir $A$ à chaque fois.

Dans un arbre, $P(A) = \dfrac{ 3 }{5}$ et $P_A(B) = \dfrac{ 4 }{10}$ . Calcule $P(A \cap B)$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

On répète deux épreuves indépendantes. $A$ a pour probabilité $\dfrac{1}{ 4 }$ à la première, et $B$ a pour probabilité $\dfrac{1}{ 4 }$ à la seconde. Calcule la probabilité d'obtenir $A$ puis $B$ .
On répète deux épreuves indépendantes. $A$ a pour probabilité $\dfrac{1}{ 6 }$ à la première, et $B$ a pour probabilité $\dfrac{1}{ 3 }$ à la seconde. Calcule la probabilité d'obtenir $A$ puis $B$ .
On répète deux épreuves indépendantes. $A$ a pour probabilité $\dfrac{1}{ 2 }$ à la première, et $B$ a pour probabilité $\dfrac{1}{ 4 }$ à la seconde. Calcule la probabilité d'obtenir $A$ puis $B$ .

Fiche résumé

Arbres

On multiplie le long d'un chemin.
On additionne les chemins menant au même événement.

Attention : ne compte aucun chemin deux fois, n'en oublie aucun.

À propos de cette leçon