La loi binomiale

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques complémentaires › Lois discrètes

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La loi binomiale

Découvrir

On lance une pièce trois fois. Combien de suites contiennent exactement un pile ?

  1. 3
  2. 1

L'idée clé

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès, de probabilité pp, et échec. Un schéma de Bernoulli répète nn fois cette épreuve, de façon indépendante.

Le nombre XX de succès suit la loi binomiale B(n;p)\mathcal{B}(n ; p) : P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}, où (nk)\binom{n}{k} compte les chemins de l'arbre avec kk succès.

Exemple corrigé

XX suit B(5;0,2)\mathcal{B}(5 ; 0{,}2). Calcule P(X=2)P(X = 2).

(52)=10\binom{5}{2} = 10
Nombre de chemins.
0,22×0,83=0,020480{,}2^2 \times 0{,}8^3 = 0{,}02048
Probabilité d'un chemin.
P(X=2)=0,2048P(X = 2) = 0{,}2048
On multiplie.

À toi, guidé

À toi : XX suit B(4;12)\mathcal{B}\left(4 ; \dfrac{1}{2}\right). Calcule P(X=1)P(X = 1).

14\dfrac{1}{4}
4 × (½)⁴.

Entraînement ★

  1. Un joueur réussit un lancer franc avec la probabilité 16\dfrac{1}{ 6 }. En 5 lancers indépendants, calcule la probabilité d'en réussir exactement un.
  2. Un joueur réussit un lancer franc avec la probabilité 15\dfrac{1}{ 5 }. En 6 lancers indépendants, calcule la probabilité d'en réussir exactement un.
  1. Quelle situation relève d'une loi binomiale ?
    1. Le nombre de piles en 9 lancers d'une pièce équilibrée
    2. Le nombre de lancers jusqu'au premier pile
    3. Le nombre d'as dans 9 cartes tirées d'un jeu, sans remise

Attention !

Entraînement ★★

  1. Une graine germe avec la probabilité 14\dfrac{1}{ 4 }, indépendamment des autres. On plante 6 graines. Calcule la probabilité que exactement deux germent.
  2. Une graine germe avec la probabilité 13\dfrac{1}{ 3 }, indépendamment des autres. On plante 8 graines. Calcule la probabilité que exactement deux germent.
  1. Problème final. Une pièce d'une machine est défectueuse avec la probabilité 15\dfrac{1}{ 5 }, indépendamment des autres. On teste quatre pièces ; XX compte les pièces défectueuses.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Un joueur réussit un lancer franc avec la probabilité 16\dfrac{1}{ 6 }. En 5 lancers indépendants, calcule la probabilité d'en réussir exactement un.
  2. Un joueur réussit un lancer franc avec la probabilité 15\dfrac{1}{ 5 }. En 6 lancers indépendants, calcule la probabilité d'en réussir exactement un.
  3. Un joueur réussit un lancer franc avec la probabilité 12\dfrac{1}{ 2 }. En 7 lancers indépendants, calcule la probabilité d'en réussir exactement un.

Fiche résumé

Loi binomiale

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k} pour XX suivant B(n;p)\mathcal{B}(n ; p).

Attention : multiplie par le nombre de chemins.

Fin de la leçon

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Corrigé: La loi binomiale

A

  1. 31257776\frac{3125}{7776}
  2. 614415625\frac{6144}{15625}

B

  1. Le nombre de piles en 9 lancers d'une pièce équilibrée

C

  1. 12154096\frac{1215}{4096}
  2. 17926561\frac{1792}{6561}

D

  1. 45\frac{4}{5}

E

  1. 31257776\frac{3125}{7776}
  2. 614415625\frac{6144}{15625}
  3. 7128\frac{7}{128}

CC BY-SA 4.0