La loi géométrique

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On lance un dé jusqu'au premier six. Quelle est la probabilité que le premier six arrive au 3e lancer ?

$\left(\dfrac{5}{6}\right)^2 \times \dfrac{1}{6}$
$\left(\dfrac{5}{6}\right)^3 \times \dfrac{1}{6}$

L'idée clé

On répète une épreuve de Bernoulli jusqu'au premier succès.

$X$ , le rang du premier succès, suit la loi géométrique de paramètre $p$ : $P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p$ , $P(X > k) = (1 - p)^k$ et $E(X) = \dfrac{1}{p}$ .

Absence de mémoire : $P_{X > n}(X > n + k) = P(X > k)$ .

Exemple corrigé

$p = 0{,}25$ .

P(X = 2) = 0{,}75 \times 0{,}25 = 0{,}1875

Premier succès à la 2e épreuve.

P(X \leq 2) = 1 - 0{,}75^2 = 0{,}4375

Contraire de deux échecs.

E(X) = 4

1/p.

À toi, guidé

À toi : $p = 0{,}1$ . Calcule l'espérance.

10

1/0,1.

Entraînement ★

Chaque appel aboutit avec la probabilité $\dfrac{1}{ 2 }$ , indépendamment des autres. Calcule la probabilité que le premier succès ait lieu à l'appel 2.
Chaque appel aboutit avec la probabilité $\dfrac{1}{ 4 }$ , indépendamment des autres. Calcule la probabilité que le premier succès ait lieu à l'appel 2.

Une roue affiche « gagné » avec la probabilité $\dfrac{1}{ 10 }$ . En moyenne, combien de lancers faut-il pour le premier gain ?

Attention !

Entraînement ★★

Chaque essai réussit avec la probabilité $\dfrac{1}{ 7 }$ . Calcule la probabilité d'un premier succès dans les deux premiers essais.
Chaque essai réussit avec la probabilité $\dfrac{1}{ 9 }$ . Calcule la probabilité d'un premier succès dans les deux premiers essais.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Chaque appel aboutit avec la probabilité $\dfrac{1}{ 2 }$ , indépendamment des autres. Calcule la probabilité que le premier succès ait lieu à l'appel 2.
Chaque appel aboutit avec la probabilité $\dfrac{1}{ 4 }$ , indépendamment des autres. Calcule la probabilité que le premier succès ait lieu à l'appel 2.
Chaque appel aboutit avec la probabilité $\dfrac{1}{ 2 }$ , indépendamment des autres. Calcule la probabilité que le premier succès ait lieu à l'appel 6.

Fiche résumé

Loi géométrique

$P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p$ et $E(X) = \dfrac{1}{p}$ .

Attention : il y a $k - 1$ échecs avant le premier succès.

À propos de cette leçon