Loi uniforme discrète et loi de Bernoulli

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Terminale, mathématiques complémentaires › Lois discrètes

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Loi uniforme discrète et loi de Bernoulli

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On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est l'espérance du résultat ?

$3{,}5$
$6$

L'idée clé

Deux lois de base.

Loi uniforme sur $\{1 ; \dots ; n\}$ : $P(X = k) = \dfrac{1}{n}$ et $E(X) = \dfrac{n + 1}{2}$ .

Loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $P(X = 1) = p$ et $P(X = 0) = 1 - p$ . Alors $E(X) = p$ et $\sigma(X) = \sqrt{p(1 - p)}$ .

Exemple corrigé

$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $0{,}2$ . Calcule $E(X)$ et $\sigma(X)$ .

E(X) = 0{,}2

Espérance.

\sigma(X) = \sqrt{0{,}2 \times 0{,}8} = 0{,}4

Écart type.

À toi, guidé

À toi : quelle est l'espérance d'une loi uniforme sur $\{1 ; \dots ; 9\}$ ?

5

(9 + 1) / 2.

Entraînement ★

$X$ suit la loi uniforme sur $\{1 ; \dots ; 9\}$ . Calcule $E(X)$ .
$X$ suit la loi uniforme sur $\{1 ; \dots ; 4\}$ . Calcule $E(X)$ .
$X$ suit la loi uniforme sur $\{1 ; \dots ; 11\}$ . Calcule $E(X)$ .

Attention !

Entraînement ★★

$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $\dfrac{1}{ 4 }$ . Calcule $V(X)$ .
$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $\dfrac{1}{ 6 }$ . Calcule $V(X)$ .

$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $\dfrac{1}{ 5 }$ . Calcule $E(X)$ .

$X$ suit la loi uniforme sur $\{1 ; \dots ; 11\}$ . Calcule $P(X \leq 3)$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$X$ suit la loi uniforme sur $\{1 ; \dots ; 9\}$ . Calcule $E(X)$ .
$X$ suit la loi uniforme sur $\{1 ; \dots ; 4\}$ . Calcule $E(X)$ .
$X$ suit la loi uniforme sur $\{1 ; \dots ; 11\}$ . Calcule $E(X)$ .

Fiche résumé

Lois de base

Uniforme : $E = \dfrac{n + 1}{2}$ .
Bernoulli : $E = p$ et $\sigma = \sqrt{p(1 - p)}$ .

Attention : l'écart type a une racine carrée.

Fin de la leçon

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Corrigé: Loi uniforme discrète et loi de Bernoulli

A

$5$
$\frac{5}{2}$
$6$

B

$\frac{3}{16}$
$\frac{5}{36}$

C

$\frac{1}{5}$

D

$\frac{3}{11}$

E

$5$
$\frac{5}{2}$
$6$

CC BY-SA 4.0