Le théorème des valeurs intermédiaires

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

À 7 h, il faisait 4 °C ; à midi, 15 °C. La température varie de façon continue. A-t-il fait exactement 10 °C à un moment entre les deux ?

Oui, à un certain moment
Pas forcément

L'idée clé

Une fonction continue ne saute aucune valeur.

Théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur $[a ; b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors l'équation $f(x) = k$ a au moins une solution dans $[a ; b]$ .

Si de plus $f$ est strictement monotone, cette solution est unique.

Exemple corrigé

Montre que $x^3 + x - 1 = 0$ a une unique solution dans $[0 ; 1]$ .

f(x) = x^3 + x - 1

est continue et strictement croissante.

Un polynôme est continu, et f'(x) = 3x² + 1 > 0.

f(0) = -1 < 0

et

f(1) = 1 > 0

On calcule aux bornes.

Il existe une unique solution dans

[0 ; 1]

Théorème avec k = 0, cas strictement monotone.

À toi, guidé

À toi : $f(x) = x^2 - 5$ sur $[2 ; 3]$ .

f(2) = -1

4 − 5.

f(3) = 4

: changement de signe, donc une solution (

\sqrt{5}

) entre les deux

9 − 5.

Entraînement ★

$f$ est continue sur $[1 ; 9]$ , avec $f(1) = -1$ et $f(9) = 7$ . La fonction $f$ s'annule-t-elle forcément entre 1 et 9 ?
1. Oui, d'après le théorème des valeurs intermédiaires
2. Seulement si $f$ est un polynôme
3. Seulement si $f$ est croissante
$f$ est continue sur $[3 ; 5]$ , avec $f(3) = -2$ et $f(5) = 2$ . La fonction $f$ s'annule-t-elle forcément entre 3 et 5 ?
1. Oui, d'après le théorème des valeurs intermédiaires
2. Seulement si $f$ est un polynôme
3. Seulement si $f$ est croissante

Attention !

Entraînement ★★

$f(x) = \dfrac{1}{x}$ vérifie $f(-4) < 0$ et $f(4) > 0$ . La fonction $f$ s'annule-t-elle sur $]-4 ; 4[$ ?
1. Non : $f$ n'est pas continue sur $[-4 ; 4]$ , le théorème ne s'applique pas
2. Oui, d'après le théorème des valeurs intermédiaires
3. Oui, en $x = 0$

$f(x) = x^3 + x - 3$ est continue. Entre quels entiers consécutifs $m$ et $m + 1$ s'annule-t-elle ? Donne $m$ .
$f(x) = x^3 + x - 11$ est continue. Entre quels entiers consécutifs $m$ et $m + 1$ s'annule-t-elle ? Donne $m$ .
$f(x) = x^3 + x - 31$ est continue. Entre quels entiers consécutifs $m$ et $m + 1$ s'annule-t-elle ? Donne $m$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$f(x) = x^3 + x - 3$ est continue. Entre quels entiers consécutifs $m$ et $m + 1$ s'annule-t-elle ? Donne $m$ .
$f(x) = x^3 + x - 11$ est continue. Entre quels entiers consécutifs $m$ et $m + 1$ s'annule-t-elle ? Donne $m$ .
$f(x) = x^3 + x - 31$ est continue. Entre quels entiers consécutifs $m$ et $m + 1$ s'annule-t-elle ? Donne $m$ .

Fiche résumé

Théorème des valeurs intermédiaires

Vérifier que $f$ est continue sur $[a ; b]$ .
Comparer $f(a)$ et $f(b)$ à $k$ (souvent 0).
Conclure à l'existence d'une solution ; à son unicité si $f$ est strictement monotone.

Attention : sans continuité, pas de conclusion.

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