Propriétés algébriques du logarithme népérien

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Avec une calculatrice : $\ln 2 \approx 0{,}69$ et $\ln 3 \approx 1{,}10$ . Lequel de ces nombres vaut environ $1{,}79$ ?

$\ln 6$
$\ln 5$

L'idée clé

Le logarithme transforme les produits en sommes.

Pour $a > 0$ et $b > 0$ , et $n$ entier relatif :

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln \dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$ ; $\ln \dfrac{1}{b} = -\ln b$ ; $\ln(a^n) = n\ln a$ ; $\ln\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a$ .

Exemple corrigé

Écris $A = \ln 12 - 2\ln 2$ sous la forme $\ln c$ .

A = \ln 12 - \ln 4

n ln a = ln(aⁿ).

A = \ln \dfrac{12}{4}

Différence : ln du quotient.

A = \ln 3

12 ÷ 4.

À toi, guidé

À toi : simplifie $\ln 5 + \ln 2 - \ln 10$ .

\ln 10 - \ln 10

Somme : ln du produit.

0

La différence.

Entraînement ★

On écrit $\ln(2^{ 7 }) = c\ln 2$ . Quelle est la valeur de $c$ ?
On écrit $\ln(3^{ 6 }) = c\ln 3$ . Quelle est la valeur de $c$ ?
On écrit $\ln(2^{ 8 }) = c\ln 2$ . Quelle est la valeur de $c$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Quelle expression est égale à $\ln(2 \times 5)$ ?
1. $\ln 2 + \ln 5$
2. $\ln 2 \times \ln 5$
3. $\ln(2 + 5)$
Quelle expression est égale à $\ln(6 \times 8)$ ?
1. $\ln 6 + \ln 8$
2. $\ln 6 \times \ln 8$
3. $\ln(6 + 8)$

Exprime $\ln 9 - \ln 3$ en fonction de $\ln 3$ : il s'écrit $c\ln 3$ . Quelle est la valeur de $c$ ?
Exprime $\ln 16807 - \ln 7$ en fonction de $\ln 7$ : il s'écrit $c\ln 7$ . Quelle est la valeur de $c$ ?

$\ln\dfrac{1}{ 3 } = c\ln 3$ . Quelle est la valeur de $c$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

On écrit $\ln(2^{ 7 }) = c\ln 2$ . Quelle est la valeur de $c$ ?
On écrit $\ln(3^{ 6 }) = c\ln 3$ . Quelle est la valeur de $c$ ?
On écrit $\ln(2^{ 8 }) = c\ln 2$ . Quelle est la valeur de $c$ ?

Fiche résumé

Propriétés de ln ( $a, b > 0$ )

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ .
$\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$ .
$\ln(a^n) = n\ln a$ .

Attention : il n'y a pas de formule pour $\ln(a + b)$ .

À propos de cette leçon