Méthode des rectangles

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On approche l'aire sous la courbe de $y = x$ sur $[0 ; 1]$ par 2 rectangles de largeur $0{,}5$ , en prenant la hauteur à gauche. Quelle aire trouve-t-on ?

$0{,}25$
$0{,}5$

L'idée clé

Une somme de rectangles approche l'intégrale.

Avec $n$ rectangles de largeur $\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$ : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx \sum_{i = 1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ .

Plus $n$ est grand, meilleure est l'approximation.

Exemple corrigé

Approche $\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x$ avec 2 rectangles, hauteur à droite.

\Delta x = 1

Largeur : 2/2.

1 \times 1 + 1 \times 4

Hauteurs f(1) et f(2).

5

On calcule.

À toi, guidé

À toi : quelle est la largeur $\Delta x$ pour 10 rectangles sur $[0 ; 5]$ ?

0{,}5

5 / 10.

Entraînement ★

On approche $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ avec 3 rectangles, hauteur à gauche. Quelle somme obtient-on ?
On approche $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ avec 9 rectangles, hauteur à gauche. Quelle somme obtient-on ?
On approche $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ avec 2 rectangles, hauteur à gauche. Quelle somme obtient-on ?

Attention !

Entraînement ★★

Quelle est la largeur de chaque rectangle pour 4 rectangles sur $[4 ; 16]$ ?
Quelle est la largeur de chaque rectangle pour 3 rectangles sur $[1 ; 16]$ ?

On approche $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ avec 5 rectangles, hauteur à droite. Quelle est la valeur obtenue ?

$f$ est croissante sur $[a ; b]$ . Comment la méthode des rectangles à gauche se compare-t-elle à l'intégrale ?
1. Elle la sous-estime
2. Elle la surestime
3. Elle lui est toujours égale

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

On approche $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ avec 3 rectangles, hauteur à gauche. Quelle somme obtient-on ?
On approche $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ avec 9 rectangles, hauteur à gauche. Quelle somme obtient-on ?
On approche $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ avec 2 rectangles, hauteur à gauche. Quelle somme obtient-on ?

Fiche résumé

Méthode des rectangles

$\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$ .
Somme des $f(x_i)\Delta x$ .

Attention : multiplie par la largeur.

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