Primitives

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques complémentaires › Primitives et équations différentielles

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Primitives

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Quelle fonction a pour dérivée 3x23x^2 ?

  1. x3x^3
  2. 6x6x

L'idée clé

FF est une primitive de ff sur un intervalle si F′=fF' = f, c'est-à-dire si FF est solution de l'équation différentielle y′=fy' = f. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Primitives de référence : xn→xn+1n+1x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n + 1} pour n≠−1n \neq -1 ; 1x→ln⁡x\dfrac{1}{x} \to \ln x sur ]0;+∞[]0 ; +\infty[ ; 1x→2x\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 2\sqrt{x} ; ex→ex\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x ; cos⁡x→sin⁡x\cos x \to \sin x ; sin⁡x→−cos⁡x\sin x \to -\cos x.

Exemple corrigé

Trouve la primitive FF de f(x)=4x3+sin⁡xf(x) = 4x^3 + \sin x telle que F(0)=2F(0) = 2.

F(x)=x4−cos⁡x+CF(x) = x^4 - \cos x + C
Terme à terme.
C=3C = 3
F(0) = 0 − 1 + C = 2.
F(x)=x4−cos⁡x+3F(x) = x^4 - \cos x + 3
On vérifie en dérivant.

À toi, guidé

À toi : f(x)=6x2f(x) = 6x^2, avec F(0)=0F(0) = 0.

F(x)=2x3F(x) = 2x^3
6x³/3.

Entraînement ★

  1. Trouve la primitive FF de f(x)=4x3+9f(x) = 4x^{ 3 } + 9 telle que F(0)=0F(0) = 0.
  2. Trouve la primitive FF de f(x)=2x2+8f(x) = 2x^{ 2 } + 8 telle que F(0)=0F(0) = 0.
  3. Trouve la primitive FF de f(x)=5x4+6f(x) = 5x^{ 4 } + 6 telle que F(0)=0F(0) = 0.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Trouve la primitive FF de f(x)=cos⁡x+exf(x) = \cos x + \mathrm{e}^x telle que F(0)=6F(0) = 6.
  2. Trouve la primitive FF de f(x)=cos⁡x+exf(x) = \cos x + \mathrm{e}^x telle que F(0)=4F(0) = 4.
  1. Trouve la primitive FF de f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}, pour x>0x > 0, telle que F(1)=−9F(1) = -9.
  2. Trouve la primitive FF de f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}, pour x>0x > 0, telle que F(1)=8F(1) = 8.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Trouve la primitive FF de f(x)=4x3+9f(x) = 4x^{ 3 } + 9 telle que F(0)=0F(0) = 0.
  2. Trouve la primitive FF de f(x)=2x2+8f(x) = 2x^{ 2 } + 8 telle que F(0)=0F(0) = 0.
  3. Trouve la primitive FF de f(x)=5x4+6f(x) = 5x^{ 4 } + 6 telle que F(0)=0F(0) = 0.

Fiche résumé

Primitives

  • xn→xn+1n+1x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1} ; 1x→ln⁡x\dfrac{1}{x} \to \ln x ; ex→ex\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x ; cos⁡→sin⁡\cos \to \sin ; sin⁡→−cos⁡\sin \to -\cos.
  • Une valeur donnée permet de trouver CC.

Attention : vérifie toujours en dérivant.

Fin de la leçon

Leçon suivante: Reconnaître une dérivée composée pour trouver une primitive Retour au chapitre

Corrigé: Primitives

A

  1. x4+9xx^{4} + 9 x
  2. 2x33+8x\frac{2 x^{3}}{3} + 8 x
  3. x5+6xx^{5} + 6 x

B

  1. ex+sin⁡(x)+5e^{x} + \sin{\left(x \right)} + 5
  2. ex+sin⁡(x)+3e^{x} + \sin{\left(x \right)} + 3

C

  1. ln⁡(x)−9\ln{\left(x \right)} - 9
  2. ln⁡(x)+8\ln{\left(x \right)} + 8

D

  1. x4+9xx^{4} + 9 x
  2. 2x33+8x\frac{2 x^{3}}{3} + 8 x
  3. x5+6xx^{5} + 6 x

CC BY-SA 4.0