Limite d'une suite

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques complémentaires › Suites numériques, modèles discrets

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Limite d'une suite

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On considère un=3+1nu_n = 3 + \dfrac{1}{n} pour n≥1n \geq 1 : u1=4u_1 = 4, u10=3,1u_{10} = 3{,}1, u100=3,01u_{100} = 3{,}01. Vers quoi semble tendre la suite ?

  1. Vers 3
  2. Vers +∞+\infty

L'idée clé

La limite décrit le comportement de unu_n quand nn devient très grand.

(un)(u_n) converge vers le réel ℓ\ell si tout intervalle ouvert contenant ℓ\ell contient tous les unu_n à partir d'un certain rang.

(un)(u_n) tend vers +∞+\infty si tout intervalle [A;+∞[[A ; +\infty[ contient tous les unu_n à partir d'un certain rang.

Limites de référence : 1n\dfrac{1}{n}, 1n2\dfrac{1}{n^2}, 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}} tendent vers 00 ; nn, n2n^2, n\sqrt{n} tendent vers +∞+\infty.

Exemple corrigé

Soit un=n2u_n = n^2. À partir de quel rang a-t-on un≥10 000u_n \geq 10\,000 ?

n2≥10 000  ⟺  n≥100n^2 \geq 10\,000 \iff n \geq 100
On résout l'inéquation pour n positif.
Dès le rang 100100, un∈[10 000;+∞[u_n \in [10\,000 ; +\infty[.
Tous les termes suivants restent au-dessus : c'est ce que dit la limite +∞.

À toi, guidé

À toi : un=5−2nu_n = 5 - \dfrac{2}{n}. Quelle est la limite de unu_n ?

2n→0\dfrac{2}{n} \to 0
2/n tend vers 0.
lim⁡n→+∞un=5\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 5
Il reste 5.

Entraînement ★

  1. Quelle est la limite de la suite un=−4+6nu_n = -4 + \dfrac{ 6 }{n} quand nn tend vers +∞+\infty ?
  2. Quelle est la limite de la suite un=3+4nu_n = 3 + \dfrac{ 4 }{n} quand nn tend vers +∞+\infty ?
  3. Quelle est la limite de la suite un=−5+5nu_n = -5 + \dfrac{ 5 }{n} quand nn tend vers +∞+\infty ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Soit un=n2u_n = n^2. Quel est le plus petit entier nn tel que un≥6400u_n \geq 6400 ?
  2. Soit un=n2u_n = n^2. Quel est le plus petit entier nn tel que un≥1600u_n \geq 1600 ?
  1. La suite un=5−1nu_n = 5 - \dfrac{1}{n} est croissante. Que peut-on dire de sa limite ?
    1. Elle converge vers 5
    2. Elle tend vers +∞+\infty, car elle est croissante
    3. Elle converge vers 0
  2. La suite un=6−1nu_n = 6 - \dfrac{1}{n} est croissante. Que peut-on dire de sa limite ?
    1. Elle converge vers 6
    2. Elle tend vers +∞+\infty, car elle est croissante
    3. Elle converge vers 0
  1. Quelle est la limite de la suite un=4n−1u_n = 4n - 1 ?
    1. +∞+\infty
    2. 44
    3. Elle n'a pas de limite

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelle est la limite de la suite un=−4+6nu_n = -4 + \dfrac{ 6 }{n} quand nn tend vers +∞+\infty ?
  2. Quelle est la limite de la suite un=3+4nu_n = 3 + \dfrac{ 4 }{n} quand nn tend vers +∞+\infty ?
  3. Quelle est la limite de la suite un=−5+5nu_n = -5 + \dfrac{ 5 }{n} quand nn tend vers +∞+\infty ?

Fiche résumé

Limite d'une suite

  • Convergente : les termes se rapprochent d'un réel ℓ\ell.
  • Limite +∞+\infty : les termes dépassent tout nombre AA, et restent au-dessus.

Attention : croissante ne veut pas dire « tend vers +∞+\infty ».

Fin de la leçon

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Corrigé: Limite d'une suite

A

  1. −4-4
  2. 33
  3. −5-5

B

  1. 8080
  2. 4040

C

  1. Elle converge vers 5
  2. Elle converge vers 6

D

  1. +∞+\infty

E

  1. −4-4
  2. 33
  3. −5-5

CC BY-SA 4.0