Somme des termes d'une suite géométrique et limite

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

On additionne $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots$ . Vers quoi tend cette somme ?

On utilise une formule, puis la limite de $q^{n}$ .

Pour $q \neq 1$ : $1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ .

Si $0 \leq q < 1$ , alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}(1 + q + \dots + q^n) = \dfrac{1}{1 - q}$ .

Calcule la limite de $S_n = 3 + 3 \times 0{,}5 + \dots + 3 \times 0{,}5^n$ .

S_n = 3(1 + 0{,}5 + \dots + 0{,}5^n)

On factorise 3.

S_n = 3 \times \dfrac{1 - 0{,}5^{n + 1}}{0{,}5}

Formule.

6

Limite : 0,5ⁿ⁺¹ tend vers 0.

À toi : quelle est la limite de $1 + 0{,}5 + \dots + 0{,}5^n$ ?

2

1 / (1 − 0,5).

Quelle est la limite de $1 + \dfrac{1}{ 3 } + \left(\dfrac{1}{ 3 }\right)^2 + \dots + \left(\dfrac{1}{ 3 }\right)^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $1 + \dfrac{1}{ 5 } + \left(\dfrac{1}{ 5 }\right)^2 + \dots + \left(\dfrac{1}{ 5 }\right)^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $1 + \dfrac{1}{ 9 } + \left(\dfrac{1}{ 9 }\right)^2 + \dots + \left(\dfrac{1}{ 9 }\right)^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

Pour $q \neq 1$ , que vaut $1 + q + q^2 + \dots + q^n$ ?
1. $\dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$
2. $\dfrac{1 - q^n}{1 - q}$
3. $n \times q$

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Quelle est la limite de $1 + \dfrac{1}{ 3 } + \left(\dfrac{1}{ 3 }\right)^2 + \dots + \left(\dfrac{1}{ 3 }\right)^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $1 + \dfrac{1}{ 5 } + \left(\dfrac{1}{ 5 }\right)^2 + \dots + \left(\dfrac{1}{ 5 }\right)^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $1 + \dfrac{1}{ 9 } + \left(\dfrac{1}{ 9 }\right)^2 + \dots + \left(\dfrac{1}{ 9 }\right)^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

Somme géométrique

Attention : vérifie que $q < 1$ avant de passer à la limite.

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