Suites arithmético-géométriques

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Soit $u_{n + 1} = 0{,}5u_n + 3$ . Quel nombre constant $\ell$ vérifie $\ell = 0{,}5\ell + 3$ ?

L'idée clé

On se ramène à une suite géométrique.

Pour $u_{n + 1} = au_n + b$ avec $a \neq 1$ : on cherche $\ell$ tel que $\ell = a\ell + b$ . La suite $v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison $a$ .

Donc $u_n = \ell + a^n(u_0 - \ell)$ .

Exemple corrigé

$u_{n + 1} = 0{,}5u_n + 3$ et $u_0 = 10$ . Exprime $u_n$ .

\ell = 6

Solution constante.

v_n = 4 \times 0{,}5^n

v₀ = 10 − 6.

u_n = 6 + 4 \times 0{,}5^n

On revient à u.

À toi, guidé

À toi : avec $u_{n + 1} = 0{,}5u_n + 3$ , quelle est la limite de $u_n$ ?

6

0,5ⁿ tend vers 0.

Entraînement ★

Quelle est la solution constante de $u_{n + 1} = \dfrac{1}{ 5 }u_n + 4$ ?
Quelle est la solution constante de $u_{n + 1} = \dfrac{1}{ 3 }u_n + 2$ ?
Quelle est la solution constante de $u_{n + 1} = \dfrac{1}{ 5 }u_n + 12$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Pour $u_{n + 1} = 4u_n - 3$ et $u_0 = 10$ , que vaut $v_0 = u_0 - \ell$ ?
Pour $u_{n + 1} = 4u_n - 6$ et $u_0 = 6$ , que vaut $v_0 = u_0 - \ell$ ?

Problème final. $u_{n + 1} = \dfrac{1}{2}u_n + 5$ , avec $u_0 = 14$ .

$u_n = 5 \times 0{,}5^n + 6$ . Quelle est la limite de $u_n$ ?

Pour $u_{n + 1} = au_n + b$ , de point fixe $\ell$ , de quel type est la suite $v_n = u_n - \ell$ ?
1. Géométrique de raison $a$
2. Arithmétique de raison $b$
3. Constante

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Quelle est la solution constante de $u_{n + 1} = \dfrac{1}{ 5 }u_n + 4$ ?
Quelle est la solution constante de $u_{n + 1} = \dfrac{1}{ 3 }u_n + 2$ ?
Quelle est la solution constante de $u_{n + 1} = \dfrac{1}{ 5 }u_n + 12$ ?

Fiche résumé

Arithmético-géométrique

Solution constante $\ell$ .
$v_n = u_n - \ell$ est géométrique.

Attention : $u_n$ n'est pas géométrique elle-même.

Fin de la leçon

Leçon suivante: Suites définies par uₙ₊₁ = f(uₙ) et continuité Retour au chapitre

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