Nombres premiers et décomposition

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques expertes › Divisibilité et congruences

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Nombres premiers et décomposition

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Lequel de ces nombres est premier ?

  1. 1313
  2. 99

L'idée clé

Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs.

Tout entier n≥2n \geq 2 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.

L'ensemble des nombres premiers est infini. Pour tester si nn est premier, il suffit d'essayer les premiers pp tels que p2≤np^2 \leq n.

Exemple corrigé

Décompose 360.

360=23×45360 = 2^3 \times 45
On divise par 2.
45=32×545 = 3^2 \times 5
On divise par 3.
360=23×32×5360 = 2^3 \times 3^2 \times 5
Décomposition.

À toi, guidé

À toi : quel est le plus petit nombre premier ?

22
1 n'est pas premier.

Entraînement ★

  1. Combien de diviseurs positifs le nombre 21×322^{ 1 } \times 3^{ 2 } a-t-il ?
  2. Combien de diviseurs positifs le nombre 24×322^{ 4 } \times 3^{ 2 } a-t-il ?
  3. Combien de diviseurs positifs le nombre 23×322^{ 3 } \times 3^{ 2 } a-t-il ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Lequel de ces nombres est premier ?
    1. 101101
    2. 9191
    3. 11
  2. Lequel de ces nombres est premier ?
    1. 101101
    2. 9191
    3. 11
  1. On écrit 432432 sous la forme 2x×3y2^x \times 3^y. Que vaut xx ?
  1. Le nombre 1 est-il premier ?
    1. Non : un nombre premier a exactement deux diviseurs
    2. Oui : il n'est divisible que par lui-même
    3. Oui : tout nombre impair est premier

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Combien de diviseurs positifs le nombre 21×322^{ 1 } \times 3^{ 2 } a-t-il ?
  2. Combien de diviseurs positifs le nombre 24×322^{ 4 } \times 3^{ 2 } a-t-il ?
  3. Combien de diviseurs positifs le nombre 23×322^{ 3 } \times 3^{ 2 } a-t-il ?

Fiche résumé

Nombres premiers

  • Exactement deux diviseurs positifs.
  • Décomposition unique.

Attention : 1 n'est pas premier.

Fin de la leçon

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Corrigé: Nombres premiers et décomposition

A

  1. 66
  2. 1515
  3. 1212

B

  1. 101101
  2. 101101

C

  1. 44

D

  1. Non : un nombre premier a exactement deux diviseurs

E

  1. 66
  2. 1515
  3. 1212

CC BY-SA 4.0