Théorème de Bézout

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

On a $3 \times 2 + 5 \times (-1) = 1$ . Que peut-on dire de 3 et 5 ?

Le théorème relie PGCD et combinaisons linéaires.

Bézout : $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement s'il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$ .

Plus généralement, il existe $u$ et $v$ tels que $au + bv = \mathrm{PGCD}(a ; b)$ .

Trouve un couple $(u ; v)$ tel que $7u + 3v = 1$ .

7 = 3 \times 2 + 1

Euclide.

1 = 7 \times 1 + 3 \times (-2)

On isole 1.

(u ; v) = (1 ; -2)

On lit.

À toi : avec $5u + 2v = 1$ et $u = 1$ , que vaut $v$ ?

-2

5 + 2v = 1.

Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $12u + 24v = 1$ ?
1. Non, car le PGCD n'est pas 1
2. Oui, toujours
3. Oui, avec $u = v = 1$
Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $10u + 20v = 1$ ?
1. Non, car le PGCD n'est pas 1
2. Oui, toujours
3. Oui, avec $u = v = 1$

Selon le théorème de Bézout, que signifie l'existence d'entiers $u$ , $v$ tels que $au + bv = 1$ ?
1. $a$ et $b$ sont premiers entre eux
2. $a$ divise $b$
3. $a$ et $b$ sont des nombres premiers

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Bézout

Attention : le couple $(u ; v)$ n'est pas unique.

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