L'ensemble des nombres complexes : forme algébrique et opérations

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques expertes › Nombres complexes : point de vue algébrique

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L'ensemble des nombres complexes : forme algébrique et opérations

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Dans C\mathbb{C}, on a i2=−1i^2 = -1. Que vaut (1+i)(1−i)(1 + i)(1 - i) ?

  1. 22
  2. 00

L'idée clé

Tout nombre complexe s'écrit de façon unique z=a+ibz = a + ib, avec aa et bb réels.

aa est la partie réelle Re(z)\mathrm{Re}(z) et bb la partie imaginaire Im(z)\mathrm{Im}(z). On calcule comme avec des réels, en remplaçant i2i^2 par −1-1.

Exemple corrigé

Calcule (2+3i)(1−2i)(2 + 3i)(1 - 2i).

2−4i+3i−6i22 - 4i + 3i - 6i^2
On développe.
2−i+62 - i + 6
i² = −1.
8−i8 - i
On regroupe.

À toi, guidé

À toi : calcule (1+i)2(1 + i)^2.

2i2i
1 + 2i + i².

Entraînement ★

  1. Calcule (6+1i)(6+4i)(6 + 1i)(6 + 4i) sous forme algébrique.
  2. Calcule (6+5i)(1+2i)(6 + 5i)(1 + 2i) sous forme algébrique.
  3. Calcule (1+4i)(5+5i)(1 + 4i)(5 + 5i) sous forme algébrique.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la partie imaginaire de z=8−7iz = 8 - 7i ?
    1. −7-7
    2. −7i-7i
    3. 88
  2. Quelle est la partie imaginaire de z=3−3iz = 3 - 3i ?
    1. −3-3
    2. −3i-3i
    3. 33
  1. Calcule i23i^{ 23 }.
  1. Calcule (9+4i)+(8−4i)(9 + 4i) + (8 - 4i) sous forme algébrique.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule (6+1i)(6+4i)(6 + 1i)(6 + 4i) sous forme algébrique.
  2. Calcule (6+5i)(1+2i)(6 + 5i)(1 + 2i) sous forme algébrique.
  3. Calcule (1+4i)(5+5i)(1 + 4i)(5 + 5i) sous forme algébrique.

Fiche résumé

Forme algébrique

  • z=a+ibz = a + ib, avec aa et bb réels.
  • i2=−1i^2 = -1.

Attention : la partie imaginaire de a+iba + ib est bb, pas ibib.

Fin de la leçon

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Corrigé: L'ensemble des nombres complexes : forme algébrique et opérations

A

  1. 32+30i32 + 30 i
  2. −4+17i-4 + 17 i
  3. −15+25i-15 + 25 i

B

  1. −7-7
  2. −3-3

C

  1. −i- i

D

  1. 1717

E

  1. 32+30i32 + 30 i
  2. −4+17i-4 + 17 i
  3. −15+25i-15 + 25 i

CC BY-SA 4.0