Conjugué et inverse d'un nombre complexe

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Quel est le conjugué de $z = 3 + 2i$ ?

$3 - 2i$
$-3 - 2i$

L'idée clé

Le conjugué sert à rendre un dénominateur réel.

Si $z = a + ib$ , alors $\bar{z} = a - ib$ et $z\bar{z} = a^2 + b^2$ .

$\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ ; $\overline{zz'} = \bar{z}\,\bar{z'}$ ; $\overline{z^n} = \bar{z}^n$ . Pour $z \neq 0$ : $\dfrac{1}{z} = \dfrac{\bar{z}}{z\bar{z}}$ .

Exemple corrigé

Écris $\dfrac{1}{1 + 2i}$ sous forme algébrique.

\dfrac{1 - 2i}{(1 + 2i)(1 - 2i)}

On multiplie par le conjugué.

\dfrac{1 - 2i}{5}

1² + 2² = 5.

\dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5}i

On sépare.

À toi, guidé

À toi : calcule $(2 + i)(2 - i)$ .

5

2² + 1².

Entraînement ★

Calcule $z\bar{z}$ pour $z = 5 + 7i$ .
Calcule $z\bar{z}$ pour $z = 7 + 6i$ .
Calcule $z\bar{z}$ pour $z = 6 + 7i$ .

Attention !

Entraînement ★★

Écris $\dfrac{1}{ 3 + 6i }$ sous forme algébrique.
Écris $\dfrac{1}{ 4 + 3i }$ sous forme algébrique.

Écris $\dfrac{ 5 + 1i }{i}$ sous forme algébrique.

Quel est le conjugué de $z = 2 - 7i$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule $z\bar{z}$ pour $z = 5 + 7i$ .
Calcule $z\bar{z}$ pour $z = 7 + 6i$ .
Calcule $z\bar{z}$ pour $z = 6 + 7i$ .

Fiche résumé

Conjugué

$\bar{z} = a - ib$ .
$z\bar{z} = a^2 + b^2$ , un réel positif.

Attention : le conjugué ne change pas la partie réelle.

Fin de la leçon

Leçon suivante: Équations dans ℂ : az = b, équations avec z et son conjugué Retour au chapitre

À propos de cette leçon