Équations dans ℂ : az = b, équations avec z et son conjugué

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques expertes › Nombres complexes : point de vue algébrique

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Équations dans ℂ : az = b, équations avec z et son conjugué

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On cherche zz tel que iz=2iz = 2. Que vaut zz ?

  1. −2i-2i
  2. 2i2i

L'idée clé

On résout az=baz = b comme dans R\mathbb{R}. Pour une équation avec zˉ\bar{z}, on pose z=x+iyz = x + iy.

Si a≠0a \neq 0 : az=b  ⟺  z=baaz = b \iff z = \dfrac{b}{a}.

Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales.

Exemple corrigé

Résous z+2zˉ=6+iz + 2\bar{z} = 6 + i.

x+iy+2x−2iy=6+ix + iy + 2x - 2iy = 6 + i
On pose z = x + iy.
3x−iy=6+i3x - iy = 6 + i
On regroupe.
z=2−iz = 2 - i
On identifie : 3x = 6 et −y = 1.

À toi, guidé

À toi : résous 2z=4+6i2z = 4 + 6i.

z=2+3iz = 2 + 3i
On divise par 2.

Entraînement ★

  1. Résous iz=5+5iiz = 5 + 5i. Donne zz sous forme algébrique.
  2. Résous iz=5+3iiz = 5 + 3i. Donne zz sous forme algébrique.
  3. Résous iz=4+5iiz = 4 + 5i. Donne zz sous forme algébrique.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Résous z+2zˉ=9+1iz + 2\bar{z} = 9 + 1i. Donne zz sous forme algébrique.
  2. Résous z+2zˉ=18+3iz + 2\bar{z} = 18 + 3i. Donne zz sous forme algébrique.
  1. Résous 5z=15+20i5z = 15 + 20i. Donne zz sous forme algébrique.
  1. Résous z+4i=4+6iz + 4i = 4 + 6i. Donne zz sous forme algébrique.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous iz=5+5iiz = 5 + 5i. Donne zz sous forme algébrique.
  2. Résous iz=5+3iiz = 5 + 3i. Donne zz sous forme algébrique.
  3. Résous iz=4+5iiz = 4 + 5i. Donne zz sous forme algébrique.

Fiche résumé

Équations dans C\mathbb{C}

  • az=baz = b : on divise par aa.
  • Avec zˉ\bar{z} : on pose z=x+iyz = x + iy, puis on identifie.

Attention : identifie séparément parties réelle et imaginaire.

Fin de la leçon

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Corrigé: Équations dans ℂ : az = b, équations avec z et son conjugué

A

  1. 5−5i5 - 5 i
  2. 3−5i3 - 5 i
  3. 5−4i5 - 4 i

B

  1. 3−i3 - i
  2. 6−3i6 - 3 i

C

  1. 3+4i3 + 4 i

D

  1. 4+2i4 + 2 i

E

  1. 5−5i5 - 5 i
  2. 3−5i3 - 5 i
  3. 5−4i5 - 4 i

CC BY-SA 4.0