Nombres complexes et configurations du plan

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques expertes › Nombres complexes en géométrie

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Nombres complexes et configurations du plan

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Pour AA, BB, CC d'affixes aa, bb, cc, que représente ∣c−a∣|c - a| ?

  1. La distance ACAC
  2. L'angle BAC^\widehat{BAC}

L'idée clé

Le quotient contient à la fois un rapport de longueurs et un angle.

Figure non à l'échelle

∣c−ab−a∣=ACAB\left|\dfrac{c - a}{b - a}\right| = \dfrac{AC}{AB} et arg⁡c−ab−a=(AB→,AC→)\arg\dfrac{c - a}{b - a} = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) à 2π2\pi près.

Si ce quotient est réel, AA, BB, CC sont alignés ; s'il est imaginaire pur non nul, (AB)(AB) et (AC)(AC) sont perpendiculaires.

Exemple corrigé

a=0a = 0, b=1+ib = 1 + i, c=−1+ic = -1 + i. Quelle est la nature de ABCABC ?

cb=−1+i1+i=i\dfrac{c}{b} = \dfrac{-1 + i}{1 + i} = i
Quotient.
ABCABC est rectangle isocèle en AA.
Module 1 : AC = AB ; argument π/2 : angle droit.

À toi, guidé

À toi : si c−ab−a=2\dfrac{c - a}{b - a} = 2, les points sont-ils alignés ? Quelle est la valeur de ACAB\dfrac{AC}{AB} ?

22
Le module de 2.

Entraînement ★

  1. On a c−ab−a=8i\dfrac{c - a}{b - a} = 8i. Que peut-on dire de (AB)(AB) et (AC)(AC) ?
    1. Elles sont perpendiculaires
    2. Elles sont parallèles
    3. AB=ACAB = AC
  2. On a c−ab−a=6i\dfrac{c - a}{b - a} = 6i. Que peut-on dire de (AB)(AB) et (AC)(AC) ?
    1. Elles sont perpendiculaires
    2. Elles sont parallèles
    3. AB=ACAB = AC
  3. On a c−ab−a=7i\dfrac{c - a}{b - a} = 7i. Que peut-on dire de (AB)(AB) et (AC)(AC) ?
    1. Elles sont perpendiculaires
    2. Elles sont parallèles
    3. AB=ACAB = AC

Attention !

Entraînement ★★

  1. On a c−ab−a=9+12i\dfrac{c - a}{b - a} = 9 + 12i. Calcule le rapport ACAB\dfrac{AC}{AB}.
  2. On a c−ab−a=6+8i\dfrac{c - a}{b - a} = 6 + 8i. Calcule le rapport ACAB\dfrac{AC}{AB}.
  1. Dans le plan complexe, c−ab−a=eiπ/3\dfrac{c - a}{b - a} = \mathrm{e}^{i\pi/3}. Quelle est la nature du triangle ABCABC ?
    1. Équilatéral
    2. Rectangle en AA
    3. Quelconque
  1. AA et BB ont pour affixes 10+12i10 + 12i et 4+2i4 + 2i. Quelle est l'affixe du milieu de [AB][AB] ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. On a c−ab−a=8i\dfrac{c - a}{b - a} = 8i. Que peut-on dire de (AB)(AB) et (AC)(AC) ?
    1. Elles sont perpendiculaires
    2. Elles sont parallèles
    3. AB=ACAB = AC
  2. On a c−ab−a=6i\dfrac{c - a}{b - a} = 6i. Que peut-on dire de (AB)(AB) et (AC)(AC) ?
    1. Elles sont perpendiculaires
    2. Elles sont parallèles
    3. AB=ACAB = AC
  3. On a c−ab−a=7i\dfrac{c - a}{b - a} = 7i. Que peut-on dire de (AB)(AB) et (AC)(AC) ?
    1. Elles sont perpendiculaires
    2. Elles sont parallèles
    3. AB=ACAB = AC

Fiche résumé

Géométrie

  • Module de c−ab−a\dfrac{c - a}{b - a} : rapport ACAB\dfrac{AC}{AB}.
  • Argument : angle (AB→,AC→)(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}).

Attention : réel : alignés ; imaginaire pur : perpendiculaires.

Fin de la leçon

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Corrigé: Nombres complexes et configurations du plan

A

  1. Elles sont perpendiculaires
  2. Elles sont perpendiculaires
  3. Elles sont perpendiculaires

B

  1. 1515
  2. 1010

C

  1. Équilatéral

D

  1. 7+7i7 + 7 i

E

  1. Elles sont perpendiculaires
  2. Elles sont perpendiculaires
  3. Elles sont perpendiculaires

CC BY-SA 4.0