Affixe et module d'un nombre complexe

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Le point $M$ a pour affixe $z = 3 + 4i$ . Quelle est la distance $OM$ ?

L'idée clé

Dans un repère orthonormé direct, à $z = a + ib$ on associe le point $M(a ; b)$ .

$z$ est l'affixe de $M$ . Le module $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = OM$ , et $|z|^2 = z\bar{z}$ .

$|zz'| = |z| \times |z'|$ , $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|}$ et $|z^n| = |z|^n$ . L'ensemble $\mathbb{U}$ des complexes de module 1 est stable par produit et par passage à l'inverse.

Exemple corrigé

Calcule $|(1 + i)^4|$ .

|1 + i| = \sqrt{2}

Le module de 1 + i.

|(1 + i)^4| = (\sqrt{2})^4 = 4

Module d'une puissance.

À toi, guidé

À toi : calcule $|5 - 12i|$ .

13

√(25 + 144).

Entraînement ★

Calcule le module de $z = 12 + 16i$ .
Calcule le module de $z = 9 + 12i$ .
Calcule le module de $z = 6 + 8i$ .

Attention !

Entraînement ★★

Sachant que $|z| = 2$ et $|z'| = 2$ , calcule $|z^2 z'|$ .
Sachant que $|z| = 4$ et $|z'| = 2$ , calcule $|z^2 z'|$ .

Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = 5 + 1i$ et $z_B = 14 + 13i$ . Calcule $AB$ .

$|z| = 15$ . Calcule $|\bar{z}|$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule le module de $z = 12 + 16i$ .
Calcule le module de $z = 9 + 12i$ .
Calcule le module de $z = 6 + 8i$ .

Fiche résumé

Module

$|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
$|zz'| = |z| \times |z'|$ .

Attention : le module est un réel positif, sans $i$ .

Fin de la leçon

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