Exponentielle imaginaire et forme exponentielle

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques expertes › Nombres complexes et trigonométrie

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Exponentielle imaginaire et forme exponentielle

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Avec la notation eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ\mathrm{e}^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta, que vaut eiπ\mathrm{e}^{i\pi} ?

  1. −1-1
  2. 11

L'idée clé

La notation rend les produits très simples.

eiθ eiθ′=ei(θ+θ′)\mathrm{e}^{i\theta}\,\mathrm{e}^{i\theta'} = \mathrm{e}^{i(\theta + \theta')}.

Forme exponentielle : z=reiθz = r\mathrm{e}^{i\theta}, avec r=∣z∣r = |z|. Dans un produit, les modules se multiplient et les arguments s'additionnent.

Exemple corrigé

Calcule (1+i)8(1 + i)^8.

1+i=2 eiπ/41 + i = \sqrt{2}\,\mathrm{e}^{i\pi/4}
Forme exponentielle.
(2)8 e2iπ(\sqrt{2})^8\,\mathrm{e}^{2i\pi}
Puissance 8.
1616
On conclut.

À toi, guidé

À toi : écris 3eiπ/23\mathrm{e}^{i\pi/2} sous forme algébrique.

3i3i
cos(π/2) = 0 et sin(π/2) = 1.

Entraînement ★

  1. Calcule le module de 3eiπ/3×3eiπ/53\mathrm{e}^{i\pi/3} \times 3\mathrm{e}^{i\pi/5}.
  2. Calcule le module de 5eiπ/3×5eiπ/55\mathrm{e}^{i\pi/3} \times 5\mathrm{e}^{i\pi/5}.
  3. Calcule le module de 2eiπ/3×3eiπ/52\mathrm{e}^{i\pi/3} \times 3\mathrm{e}^{i\pi/5}.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la forme algébrique de 5eiπ5\mathrm{e}^{i\pi} ?
    1. −5-5
    2. 55
    3. 5i5i
  2. Quelle est la forme algébrique de 3eiπ3\mathrm{e}^{i\pi} ?
    1. −3-3
    2. 33
    3. 3i3i
  1. Calcule (1+i)32(1 + i)^{ 32 }.
  1. Quel est l'argument de ei4π/10×ei2π/10\mathrm{e}^{i4\pi/10} \times \mathrm{e}^{i2\pi/10} ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule le module de 3eiπ/3×3eiπ/53\mathrm{e}^{i\pi/3} \times 3\mathrm{e}^{i\pi/5}.
  2. Calcule le module de 5eiπ/3×5eiπ/55\mathrm{e}^{i\pi/3} \times 5\mathrm{e}^{i\pi/5}.
  3. Calcule le module de 2eiπ/3×3eiπ/52\mathrm{e}^{i\pi/3} \times 3\mathrm{e}^{i\pi/5}.

Fiche résumé

Forme exponentielle

  • z=reiθz = r\mathrm{e}^{i\theta}.
  • Produit : on multiplie les modules, on additionne les arguments.

Attention : ne confonds pas produit et somme de complexes.

Fin de la leçon

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Corrigé: Exponentielle imaginaire et forme exponentielle

A

  1. 99
  2. 2525
  3. 66

B

  1. −5-5
  2. −3-3

C

  1. 6553665536

D

  1. 3π5\frac{3 \pi}{5}

E

  1. 99
  2. 2525
  3. 66

CC BY-SA 4.0