Systèmes linéaires et transformations du plan

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Le système $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$ s'écrit $AX = B$ . Que vaut $A$ ?

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$

L'idée clé

Une matrice inversible résout un système en une ligne.

$AX = B$ , avec $A$ inversible, donne $X = A^{-1}B$ .

Une transformation du plan peut s'écrire $X' = AX$ : par exemple, $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ code la rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ autour de l'origine.

Exemple corrigé

Résous le système ci-dessus.

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

Inverse de A, de déterminant 1.

X = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ -5 + 6 \end{pmatrix}

Produit.

x = 2

et

y = 1

Solution.

À toi, guidé

À toi : quelle est l'image du point $(1 ; 0)$ par la rotation de matrice $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ? Donne son ordonnée.

1

Seconde ligne : 1 × 1 + 0 × 0.

Entraînement ★

On résout $\begin{cases} 2x + y = 9 \\ x + y = 5 \end{cases}$ . Que vaut $x$ ?
On résout $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x + y = 6 \end{cases}$ . Que vaut $x$ ?
On résout $\begin{cases} 2x + y = 14 \\ x + y = 8 \end{cases}$ . Que vaut $x$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Quelle est l'ordonnée de l'image de $(5 ; 4)$ par $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ?
Quelle est l'ordonnée de l'image de $(5 ; 3)$ par $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ?

On résout $\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x + y = 5 \end{cases}$ . Que vaut $y$ ?

Quelle est l'abscisse de l'image de $(5 ; 1)$ par $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

On résout $\begin{cases} 2x + y = 9 \\ x + y = 5 \end{cases}$ . Que vaut $x$ ?
On résout $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x + y = 6 \end{cases}$ . Que vaut $x$ ?
On résout $\begin{cases} 2x + y = 14 \\ x + y = 8 \end{cases}$ . Que vaut $x$ ?

Fiche résumé

Systèmes

$AX = B \iff X = A^{-1}B$ .
$X' = AX$ code une transformation.

Attention : $A^{-1}$ se place à gauche.

À propos de cette leçon