Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Si une variable $X$ a une très petite variance, $X$ est-elle souvent loin de son espérance ?

Cette inégalité vaut pour toute variable aléatoire, sans connaître sa loi.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour tout

\delta > 0

,

P\big(|X - E(X)| \geq \delta\big) \leq \dfrac{V(X)}{\delta^2}

.

$E(X) = 50$ et $V(X) = 4$ . Majore $P(|X - 50| \geq 5)$ , puis minore $P(45 < X < 55)$ .

P(|X - 50| \geq 5) \leq \dfrac{4}{25} = 0{,}16

V/δ² avec δ = 5.

P(45 < X < 55) \geq 1 - 0{,}16 = 0{,}84

Événement contraire.

À toi : $V(X) = 9$ et $\delta = 3\sigma(X)$ . Majore $P(|X - E(X)| \geq \delta)$ .

\dfrac{1}{9}

σ = 3, δ = 9 : 9/81.

$V(X) = 1$ . D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, quel majorant obtient-on pour $P\big(|X - E(X)| \geq 2\big)$ ?
$V(X) = 4$ . D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, quel majorant obtient-on pour $P\big(|X - E(X)| \geq 3\big)$ ?
$V(X) = 1$ . D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, quel majorant obtient-on pour $P\big(|X - E(X)| \geq 5\big)$ ?

$E(X) = 24$ et $V(X) = 2$ . Quel minorant de $P\big(18 < X < 30\big)$ obtient-on ?
$E(X) = 30$ et $V(X) = 3$ . Quel minorant de $P\big(22 < X < 38\big)$ obtient-on ?

$V(X) = 3$ . Quel majorant de $P\big(|X - E(X)| \geq 5\big)$ donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

Que majore l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
1. La probabilité de s'écarter de l'espérance d'au moins $\delta$
2. La probabilité de rester près de l'espérance
3. L'espérance de $X$

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$V(X) = 1$ . D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, quel majorant obtient-on pour $P\big(|X - E(X)| \geq 2\big)$ ?
$V(X) = 4$ . D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, quel majorant obtient-on pour $P\big(|X - E(X)| \geq 3\big)$ ?
$V(X) = 1$ . D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, quel majorant obtient-on pour $P\big(|X - E(X)| \geq 5\big)$ ?

Bienaymé-Tchebychev

$P\big(|X - E(X)| \geq \delta\big) \leq \dfrac{V(X)}{\delta^2}$ .

Attention : c'est un majorant, souvent large ; ce n'est pas la valeur de la probabilité.

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