Continuité

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Terminale, spécialité › Continuité des fonctions

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Continuité

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On peut tracer la courbe d'une fonction continue sans lever le crayon. Laquelle de ces fonctions peut-on tracer ainsi près de x=0x = 0 ?

  1. y=∣x∣y = |x|
  2. y=1xy = \dfrac{1}{x}

L'idée clé

Être continue en un point, c'est n'y avoir ni trou, ni saut, ni asymptote.

ff est continue en aa si f(a)f(a) existe, si lim⁡x→af(x)\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) existe, et si elles sont égales. Les polynômes, sin⁡\sin, cos⁡\cos, exp⁡\exp et ∣x∣|x| sont continues sur R\mathbb{R} ; les quotients de polynômes sont continus là où ils sont définis.

Exemple corrigé

Pour quelle valeur de kk la fonction f(x)={x+ksi x<2x2si x≥2f(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x < 2 \\ x^2 & \text{si } x \geq 2 \end{cases} est-elle continue ?

f(2)=4f(2) = 4
f(2) est donné par la seconde expression.
Quand xx tend vers 2 par la gauche, f(x)f(x) tend vers 2+k2 + k
La limite à gauche est donnée par la première.
2+k=42 + k = 4, donc k=2k = 2
Elles doivent être égales.

À toi, guidé

À toi : g(x)={3xsi x<1x+msi x≥1g(x) = \begin{cases} 3x & \text{si } x < 1 \\ x + m & \text{si } x \geq 1 \end{cases}.

3=1+m3 = 1 + m
Limite à gauche 3, valeur 1 + m.
m=2m = 2
On résout.

Entraînement ★

  1. Pour quelle valeur de kk la fonction f(x)={x2+ksi x<34xsi x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 4x & \text{si } x \geq 3 \end{cases} est-elle continue sur R\mathbb{R} ?
  2. Pour quelle valeur de kk la fonction f(x)={x2+ksi x<38xsi x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 8x & \text{si } x \geq 3 \end{cases} est-elle continue sur R\mathbb{R} ?
  3. Pour quelle valeur de kk la fonction f(x)={x2+ksi x<37xsi x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 7x & \text{si } x \geq 3 \end{cases} est-elle continue sur R\mathbb{R} ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. La fonction f(x)=x2−25x−5f(x) = \dfrac{x^2 - 25}{x - 5} est-elle continue en x=5x = 5 ?
    1. Non : f(5)f(5) n'est pas défini
    2. Oui : la limite existe, elle vaut 1010
    3. Non : la limite n'existe pas
  2. La fonction f(x)=x2−81x−9f(x) = \dfrac{x^2 - 81}{x - 9} est-elle continue en x=9x = 9 ?
    1. Non : f(9)f(9) n'est pas défini
    2. Oui : la limite existe, elle vaut 1818
    3. Non : la limite n'existe pas
  1. Quelles fonctions sont continues pour tout réel xx ? Coche-les toutes.
    1. x3−2x+1x^3 - 2x + 1
    2. sin⁡x\sin x
    3. ∣x∣|x|
    4. 1x\dfrac{1}{x}
    5. tan⁡x\tan x

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Pour quelle valeur de kk la fonction f(x)={x2+ksi x<34xsi x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 4x & \text{si } x \geq 3 \end{cases} est-elle continue sur R\mathbb{R} ?
  2. Pour quelle valeur de kk la fonction f(x)={x2+ksi x<38xsi x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 8x & \text{si } x \geq 3 \end{cases} est-elle continue sur R\mathbb{R} ?
  3. Pour quelle valeur de kk la fonction f(x)={x2+ksi x<37xsi x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 7x & \text{si } x \geq 3 \end{cases} est-elle continue sur R\mathbb{R} ?

Fiche résumé

Continuité en aa

  1. f(a)f(a) existe.
  2. lim⁡x→af(x)\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) existe.
  3. Elles sont égales.

Attention : que la limite existe ne suffit pas, f(a)f(a) doit lui être égale.

Fin de la leçon

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Corrigé: Continuité

A

  1. 33
  2. 1515
  3. 1212

B

  1. Non : f(5)f(5) n'est pas défini
  2. Non : f(9)f(9) n'est pas défini

C

  1. x3−2x+1x^3 - 2x + 1 · sin⁡x\sin x · ∣x∣|x|

D

  1. 33
  2. 1515
  3. 1212

CC BY-SA 4.0