Principes additif et multiplicatif

À propos de cette leçon

Terminale, spécialité › Combinatoire et dénombrement

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Principes additif et multiplicatif

Découvrir

À la cantine, on choisit une entrée parmi 3 puis un plat parmi 4. Combien de menus différents peut-on composer ?

  1. 12
  2. 7

L'idée clé

Pour dénombrer, on se demande d'abord comment se décompose le choix.

Figure non à l'échelle

Principe multiplicatif : pour des choix successifs (ceci et cela), on multiplie. Card(A×B)=Card(A)×Card(B)\text{Card}(A \times B) = \text{Card}(A) \times \text{Card}(B).

Principe additif : pour des cas qui s'excluent (ceci ou cela), on additionne. Si AA et BB sont disjoints, Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)\text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B).

Exemple corrigé

Un code est formé d'une lettre parmi 26 puis d'un chiffre parmi 10. Un autre système utilise un seul symbole, à choisir parmi 12. Combien y a-t-il de codes en tout ?

26×10=26026 \times 10 = 260
Une lettre et un chiffre : choix successifs, on multiplie.
260+12=272260 + 12 = 272
Un code est de l'un ou de l'autre système : les cas s'excluent, on additionne.

À toi, guidé

À toi : un trajet passe par l'une des 3 routes de A à B, puis l'une des 5 routes de B à C. Combien y a-t-il de trajets de A à C ?

3×53 \times 5
Une route, puis une autre : on multiplie.
1515
Le produit.

Entraînement ★

  1. Un menu se compose d'une entrée parmi 4, d'un plat parmi 8 et d'un dessert parmi 5. Combien de menus différents existe-t-il ?
  2. Un menu se compose d'une entrée parmi 2, d'un plat parmi 3 et d'un dessert parmi 3. Combien de menus différents existe-t-il ?
  3. Un menu se compose d'une entrée parmi 2, d'un plat parmi 3 et d'un dessert parmi 4. Combien de menus différents existe-t-il ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Une bibliothèque propose 9 romans, 7 BD et 6 mangas. Tom emprunte un seul livre. Combien de choix a-t-il ?
  2. Une bibliothèque propose 12 romans, 13 BD et 7 mangas. Tom emprunte un seul livre. Combien de choix a-t-il ?
  1. Un mot de passe est soit une lettre parmi 4 suivie d'un chiffre parmi 4, soit un symbole seul parmi 6. Combien de mots de passe sont possibles ?
  2. Un mot de passe est soit une lettre parmi 5 suivie d'un chiffre parmi 9, soit un symbole seul parmi 6. Combien de mots de passe sont possibles ?
  1. Pour aller de AA à CC, on peut passer par BB (5 routes de AA à BB, puis 6 routes de BB à CC) ou prendre l'une des 1 routes directes. Combien y a-t-il de trajets possibles ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Un menu se compose d'une entrée parmi 4, d'un plat parmi 8 et d'un dessert parmi 5. Combien de menus différents existe-t-il ?
  2. Un menu se compose d'une entrée parmi 2, d'un plat parmi 3 et d'un dessert parmi 3. Combien de menus différents existe-t-il ?
  3. Un menu se compose d'une entrée parmi 2, d'un plat parmi 3 et d'un dessert parmi 4. Combien de menus différents existe-t-il ?

Fiche résumé

Additionner ou multiplier ?

  • Ceci et cela (choix successifs) : on multiplie.
  • Ceci ou cela (cas disjoints) : on additionne.

Attention : pose-toi la question à chaque étape du dénombrement.

Fin de la leçon

Leçon suivante: k-uplets et parties d'un ensemble Retour au chapitre

Corrigé: Principes additif et multiplicatif

A

  1. 160160
  2. 1818
  3. 2424

B

  1. 2222
  2. 3232

C

  1. 2222
  2. 5151

D

  1. 3131

E

  1. 160160
  2. 1818
  3. 2424

CC BY-SA 4.0