k-uplets et parties d'un ensemble

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un cadenas a 3 molettes, chacune avec les chiffres de 0 à 9. Combien de codes existe-t-il ?

1 000
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L'idée clé

Un k-uplet (ou k-liste) est une liste ordonnée de $k$ éléments, répétitions permises.

Le nombre de $k$ -uplets d'un ensemble à $n$ éléments est $n^k$ .

Le nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments est $2^n$ : chaque élément est dedans ou dehors.

Exemple corrigé

Un ensemble $E$ a 5 éléments. Combien a-t-il de parties ?

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2

Pour chaque élément : 2 possibilités, dans la partie ou non.

2^5 = 32

Principe multiplicatif, 5 fois.

E

a 32 parties.

Ce compte inclut l'ensemble vide et E lui-même.

À toi, guidé

À toi : combien de mots de 4 lettres peut-on écrire avec l'alphabet $\{a, b, c\}$ ?

3^4

3 choix pour chacune des 4 lettres.

81

3 × 3 × 3 × 3.

Entraînement ★

Un code est une suite de 4 symboles, chacun choisi parmi 7 (les répétitions sont permises). Combien de codes existe-t-il ?
Un code est une suite de 5 symboles, chacun choisi parmi 6 (les répétitions sont permises). Combien de codes existe-t-il ?
Un code est une suite de 4 symboles, chacun choisi parmi 5 (les répétitions sont permises). Combien de codes existe-t-il ?

Attention !

Entraînement ★★

Un ensemble a 9 éléments. Combien a-t-il de parties (ensemble vide compris) ?
Un ensemble a 6 éléments. Combien a-t-il de parties (ensemble vide compris) ?

Pourquoi un ensemble à 8 éléments a-t-il autant de parties qu'il y a de mots de 8 lettres écrits avec 0 et 1 ?
1. À chaque partie correspond un mot : 1 si l'élément est dedans, 0 sinon.
2. Parce que chaque mot contient 8 lettres, donc il y a $2 \times 8$ mots.
3. Parce que le nombre de mots est $8^2$ , comme le nombre de parties.

Combien de codes de 2 chiffres peut-on former avec 6 chiffres différents, si les répétitions sont permises ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Un code est une suite de 4 symboles, chacun choisi parmi 7 (les répétitions sont permises). Combien de codes existe-t-il ?
Un code est une suite de 5 symboles, chacun choisi parmi 6 (les répétitions sont permises). Combien de codes existe-t-il ?
Un code est une suite de 4 symboles, chacun choisi parmi 5 (les répétitions sont permises). Combien de codes existe-t-il ?

Fiche résumé

k-uplets et parties

$k$ -uplets d'un ensemble à $n$ éléments : $n^k$ .
Parties d'un ensemble à $n$ éléments : $2^n$ .

Attention : c'est $n^k$ , et non $k^n$ . Lis bien qui est le nombre de choix.

Fin de la leçon

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