k-uplets d'éléments distincts, factorielle et permutations

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

8 coureurs disputent une course. Combien de podiums (1er, 2e, 3e) sont possibles ?

Quand les éléments doivent être distincts, le nombre de choix diminue à chaque étape.

Nombre de $k$ -uplets d'éléments distincts d'un ensemble à $n$ éléments : $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ .

Une permutation range les $n$ éléments : il y en a $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$ , avec $0! = 1$ .

De combien de façons peut-on asseoir 5 amis sur 5 chaises en ligne ?

5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

5 choix pour la première chaise, puis un de moins à chaque fois.

5! = 120

C'est une permutation.

À toi : calcule $\dfrac{7!}{5!}$ .

\dfrac{7!}{5!} = 7 \times 6

On simplifie 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

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Le produit.

7 candidats se présentent à un concours. Combien de classements des 3 premiers sont possibles ?
9 candidats se présentent à un concours. Combien de classements des 3 premiers sont possibles ?
14 candidats se présentent à un concours. Combien de classements des 3 premiers sont possibles ?

9 coureurs disputent une course. Le coureur Léo finit premier. Combien de podiums (1er, 2e, 3e) sont alors possibles ?

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

7 candidats se présentent à un concours. Combien de classements des 3 premiers sont possibles ?
9 candidats se présentent à un concours. Combien de classements des 3 premiers sont possibles ?
14 candidats se présentent à un concours. Combien de classements des 3 premiers sont possibles ?

Éléments distincts

Attention : avec répétitions, c'est $n^k$ . Sans répétitions, le nombre de choix baisse.

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