Combinaisons et coefficients binomiaux

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Dans une classe de 5 élèves, on en choisit 2 pour une sortie. Le duo Ana-Ben est le même que Ben-Ana. Combien de duos y a-t-il ?

Une combinaison de $k$ éléments est une partie à $k$ éléments : sans ordre et sans répétition.

$\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$

On lit « $k$ parmi $n$ ». Chaque partie correspond à $k!$ listes ordonnées, d'où la division par $k!$ .

Calcule $\dbinom{6}{2}$ et interprète.

\dbinom{6}{2} = \dfrac{6 \times 5}{2!}

Deux facteurs au numérateur, car k = 2.

\dbinom{6}{2} = 15

2! = 2.

Il y a 15 façons de choisir 2 éléments parmi 6.

L'interprétation : des parties à 2 éléments.

À toi : calcule $\dbinom{7}{3}$ .

\dbinom{7}{3} = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{6}

Trois facteurs, divisés par 3! = 6.

35

210 ÷ 6.

Dans une équipe de 21 personnes, on forme un groupe de 3, sans rôle particulier. Combien de groupes différents peut-on former ?
Dans une équipe de 7 personnes, on forme un groupe de 3, sans rôle particulier. Combien de groupes différents peut-on former ?

Dans une classe de 17 élèves, on tire au sort un délégué et un suppléant. Quel calcul donne le nombre de tirages possibles ?
1. $17 \times 16$
2. $\dbinom{ 17 }{2}$
3. $17^2$
Dans une classe de 18 élèves, on tire au sort un délégué et un suppléant. Quel calcul donne le nombre de tirages possibles ?
1. $18 \times 17$
2. $\dbinom{ 18 }{2}$
3. $18^2$

Un club compte 6 filles et 3 garçons. On choisit 2 filles et 1 garçon. Combien de groupes possibles ?

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Combinaisons

$\dbinom{n}{k}$ : nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.
$\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ .

Attention : si l'ordre compte, ce n'est pas une combinaison.

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