Fonctions convexes

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Trace une corde entre deux points de la parabole $y = x^2$ , par exemple entre $x = 0$ et $x = 2$ . Où se situe la corde par rapport à la courbe ?

Au-dessus de la courbe
Au-dessous de la courbe

L'idée clé

Une fonction convexe se courbe vers le haut.

$f$ est convexe sur un intervalle si sa courbe y est en dessous de ses sécantes. Elle est concave si sa courbe est au-dessus.

Pour $f$ deux fois dérivable, $f$ convexe $\iff$ $f'$ croissante $\iff$ $f'' \geq 0$ $\iff$ la courbe est au-dessus de ses tangentes.

Exemple corrigé

Étudie la convexité de $f(x) = x^3 - 3x^2$ .

f'(x) = 3x^2 - 6x

On dérive une première fois.

f''(x) = 6x - 6

On dérive une seconde fois.

f''(x) \geq 0 \iff x \geq 1

Signe de f''.

f

est concave sur

]-\infty ; 1]

et convexe sur

[1 ; +\infty[

On traduit.

À toi, guidé

À toi : $f(x) = x^3 - 6x^2$ . Pour quelle valeur $f''(x)$ s'annule-t-elle ?

f''(x) = 6x - 12

On dérive deux fois.

x = 2

On résout 6x − 12 = 0.

Entraînement ★

$f(x) = x^3 - 6x^2$ . En quelle valeur de $x$ la dérivée seconde $f''$ s'annule-t-elle ?
$f(x) = x^3 - 15x^2$ . En quelle valeur de $x$ la dérivée seconde $f''$ s'annule-t-elle ?
$f(x) = x^3 - 3x^2$ . En quelle valeur de $x$ la dérivée seconde $f''$ s'annule-t-elle ?

Attention !

Entraînement ★★

$f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ . Que peut-on dire de sa courbe et de sa tangente au point d'abscisse 2 ?
1. La courbe est au-dessus de cette tangente
2. La courbe est en dessous de cette tangente
3. La courbe coupe forcément cette tangente
$f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ . Que peut-on dire de sa courbe et de sa tangente au point d'abscisse 4 ?
1. La courbe est au-dessus de cette tangente
2. La courbe est en dessous de cette tangente
3. La courbe coupe forcément cette tangente
$f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ . Que peut-on dire de sa courbe et de sa tangente au point d'abscisse 1 ?
1. La courbe est au-dessus de cette tangente
2. La courbe est en dessous de cette tangente
3. La courbe coupe forcément cette tangente

La fonction $f(x) = 3\mathrm{e}^x$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ?
1. Oui : $f''(x) = 3\mathrm{e}^x > 0$
2. Non : $f$ est croissante, donc concave
3. Seulement pour $x > 0$
La fonction $f(x) = 6\mathrm{e}^x$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ?
1. Oui : $f''(x) = 6\mathrm{e}^x > 0$
2. Non : $f$ est croissante, donc concave
3. Seulement pour $x > 0$

$f(x) = 1x^3$ . Calcule $f''(x)$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$f(x) = x^3 - 6x^2$ . En quelle valeur de $x$ la dérivée seconde $f''$ s'annule-t-elle ?
$f(x) = x^3 - 15x^2$ . En quelle valeur de $x$ la dérivée seconde $f''$ s'annule-t-elle ?
$f(x) = x^3 - 3x^2$ . En quelle valeur de $x$ la dérivée seconde $f''$ s'annule-t-elle ?

Fiche résumé

Convexité

Convexe : courbe sous ses sécantes, au-dessus de ses tangentes, $f'' \geq 0$ .
Concave : courbe au-dessus de ses sécantes, sous ses tangentes, $f'' \leq 0$ .

Attention : le sens de variation ne dit rien de la convexité.

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