Point d'inflexion et lecture graphique de la convexité

À propos de cette leçon

Terminale, spécialité › Compléments sur la dérivation

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Point d'inflexion et lecture graphique de la convexité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe de y=x3y = x^3 traverse sa tangente en x=0x = 0. Que se passe-t-il en ce point ?

  1. f′′(x)=6xf''(x) = 6x change de signe en 0. La fonction passe de concave à convexe." data-option="1">La courbe change de convexité
  2. f′(0)=0f'(0) = 0 ne fait pas un extremum ici : ff est croissante partout. Mais f′′f'' change de signe en 0." data-option="2">ff a un maximum

L'idée clé

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente.

En un point d'inflexion, la convexité change : f′′f'' s'annule en changeant de signe. Sur une lecture graphique, c'est aussi un extremum de f′f'.

Attention : f′′(a)=0f''(a) = 0 ne suffit pas. Il faut un changement de signe.

Exemple corrigé

f(x)=x4f(x) = x^4 a-t-elle un point d'inflexion en 0 ?

f′′(x)=12x2f''(x) = 12x^2
On dérive deux fois.
f′′(0)=0f''(0) = 0
f'' s'annule en 0.
Pas de changement de signe : pas de point d'inflexion.
Mais 12x² reste positif des deux côtés de 0.

À toi, guidé

À toi : f(x)=x3−9x2f(x) = x^3 - 9x^2. Quelle est l'abscisse de son point d'inflexion ?

6x−18=06x - 18 = 0
f''(x) = 6x − 18.
x=3x = 3
f'' change de signe en cette valeur.

Entraînement ★

  1. Quelle est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de f(x)=x3−9x2+2f(x) = x^3 - 9x^2 + 2 ?
  2. Quelle est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de f(x)=x3−3x2+3f(x) = x^3 - 3x^2 + 3 ?
  3. Quelle est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de f(x)=x3−6x2+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 1 ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. f(x)=x4f(x) = x^{ 4 } vérifie f′′(0)=0f''(0) = 0. La courbe a-t-elle un point d'inflexion en 0 ?
    1. Non : f′′f'' ne change pas de signe en 0
    2. Oui, car f′′(0)=0f''(0) = 0
    3. Oui, et c'est un maximum de ff
  2. f(x)=x6f(x) = x^{ 6 } vérifie f′′(0)=0f''(0) = 0. La courbe a-t-elle un point d'inflexion en 0 ?
    1. Non : f′′f'' ne change pas de signe en 0
    2. Oui, car f′′(0)=0f''(0) = 0
    3. Oui, et c'est un maximum de ff
  1. Sur R\mathbb{R}, la courbe de f′f' admet un unique maximum, atteint en x=1x = 1. Que peut-on dire de ff en x=1x = 1 ?
    1. Sa courbe a un point d'inflexion d'abscisse 1
    2. ff a un maximum en 1
    3. f′(1)=0f'(1) = 0
  2. Sur R\mathbb{R}, la courbe de f′f' admet un unique maximum, atteint en x=5x = 5. Que peut-on dire de ff en x=5x = 5 ?
    1. Sa courbe a un point d'inflexion d'abscisse 5
    2. ff a un maximum en 5
    3. f′(5)=0f'(5) = 0
  1. La courbe de f(x)=x3f(x) = x^3 admet-elle un point d'inflexion en 0 ?
    1. Oui : f′′=6xf'' = 6x change de signe en 0
    2. Non : la tangente en 0 est horizontale
    3. Non : f′′(0)=0f''(0) = 0 ne suffit jamais

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelle est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de f(x)=x3−9x2+2f(x) = x^3 - 9x^2 + 2 ?
  2. Quelle est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de f(x)=x3−3x2+3f(x) = x^3 - 3x^2 + 3 ?
  3. Quelle est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de f(x)=x3−6x2+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 1 ?

Fiche résumé

Point d'inflexion

  • La courbe y traverse sa tangente, la convexité change.
  • f′′f'' s'annule en changeant de signe.

Attention : pour x4x^4, f′′(0)=0f''(0) = 0 mais il n'y a pas d'inflexion.

Fin de la leçon

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Corrigé: Point d'inflexion et lecture graphique de la convexité

A

  1. 33
  2. 11
  3. 22

B

  1. Non : f′′f'' ne change pas de signe en 0
  2. Non : f′′f'' ne change pas de signe en 0

C

  1. Sa courbe a un point d'inflexion d'abscisse 1
  2. Sa courbe a un point d'inflexion d'abscisse 5

D

  1. Oui : f′′=6xf'' = 6x change de signe en 0

E

  1. 33
  2. 11
  3. 22

CC BY-SA 4.0