Démontrer des inégalités par convexité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La fonction exponentielle est convexe. Sa tangente en 0 a pour équation $y = x + 1$ . Quelle inégalité peut-on en déduire ?

$\mathrm{e}^x \geq x + 1$
$\mathrm{e}^x \leq x + 1$

L'idée clé

La position d'une courbe par rapport à une tangente donne une inégalité valable sur tout l'intervalle.

Si $f$ est convexe sur $I$ et $a \in I$ : pour tout $x \in I$ , $f(x) \geq f'(a)(x - a) + f(a)$ .

Si $f$ est concave, l'inégalité est dans l'autre sens.

Exemple corrigé

Montre que $\ln x \leq x - 1$ pour tout $x > 0$ .

\ln

est concave sur

]0 ; +\infty[

.

(ln x)'' = −1/x² < 0.

Tangente en 1 :

y = 1 \times (x - 1) + 0 = x - 1

On écrit la tangente en 1.

Donc

\ln x \leq x - 1

.

Une courbe concave est sous ses tangentes.

À toi, guidé

À toi : $f(x) = x^2$ , convexe. Tangente en 3 : $y = 6x - 9$ . Quelle est la valeur de $6x - 9$ pour $x = 5$ ?

21

6 × 5 − 9, et 5² = 25 est bien au-dessus.

Entraînement ★

La fonction $f(x) = x^2$ est convexe. Sa tangente en $x = 5$ a pour équation $y = 10x + c$ . Quelle est la valeur de $c$ ?
La fonction $f(x) = x^2$ est convexe. Sa tangente en $x = 2$ a pour équation $y = 4x + c$ . Quelle est la valeur de $c$ ?
La fonction $f(x) = x^2$ est convexe. Sa tangente en $x = 6$ a pour équation $y = 12x + c$ . Quelle est la valeur de $c$ ?

Attention !

Entraînement ★★

La fonction $f$ est concave sur $\mathbb{R}$ et sa tangente en 0 a pour équation $y = 2x + 1$ . Quelle inégalité est vraie pour tout réel $x$ ?
1. $f(x) \leq 2x + 1$
2. $f(x) \geq 2x + 1$
3. $f(x) = 2x + 1$
La fonction $f$ est concave sur $\mathbb{R}$ et sa tangente en 0 a pour équation $y = 9x + 1$ . Quelle inégalité est vraie pour tout réel $x$ ?
1. $f(x) \leq 9x + 1$
2. $f(x) \geq 9x + 1$
3. $f(x) = 9x + 1$
La fonction $f$ est concave sur $\mathbb{R}$ et sa tangente en 0 a pour équation $y = 3x + 1$ . Quelle inégalité est vraie pour tout réel $x$ ?
1. $f(x) \leq 3x + 1$
2. $f(x) \geq 3x + 1$
3. $f(x) = 3x + 1$

La fonction $\ln$ est concave sur $]0 ; +\infty[$ et sa tangente en 1 a pour équation $y = x - 1$ . Quelle inégalité en déduit-on ?
1. $\ln x \leq x - 1$
2. $\ln x \geq x - 1$
3. $\ln x = x - 1$

La fonction $\exp$ est convexe et sa tangente en 0 a pour équation $y = x + 1$ . Quelle inégalité en déduit-on ?
1. $\mathrm{e}^x \geq x + 1$
2. $\mathrm{e}^x \leq x + 1$
3. $\mathrm{e}^x \geq x$ seulement pour $x > 0$

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

La fonction $f$ est concave sur $\mathbb{R}$ et sa tangente en 0 a pour équation $y = 2x + 1$ . Quelle inégalité est vraie pour tout réel $x$ ?
1. $f(x) \leq 2x + 1$
2. $f(x) \geq 2x + 1$
3. $f(x) = 2x + 1$
La fonction $f$ est concave sur $\mathbb{R}$ et sa tangente en 0 a pour équation $y = 9x + 1$ . Quelle inégalité est vraie pour tout réel $x$ ?
1. $f(x) \leq 9x + 1$
2. $f(x) \geq 9x + 1$
3. $f(x) = 9x + 1$
La fonction $f$ est concave sur $\mathbb{R}$ et sa tangente en 0 a pour équation $y = 3x + 1$ . Quelle inégalité est vraie pour tout réel $x$ ?
1. $f(x) \leq 3x + 1$
2. $f(x) \geq 3x + 1$
3. $f(x) = 3x + 1$

Fiche résumé

Inégalités de convexité

Convexe : $f(x) \geq$ tangente.
Concave : $f(x) \leq$ tangente.
À connaître : $\mathrm{e}^x \geq x + 1$ et $\ln x \leq x - 1$ .

Attention : vérifie d'abord le signe de $f''$ .

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