Représentation paramétrique d'une droite

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un drone part de $A(1 ; 2 ; 0)$ et se déplace chaque seconde selon $\vec{u}(2 ; 0 ; 1)$ . Où est-il au bout de 3 secondes ?

$(7 ; 2 ; 3)$
$(6 ; 0 ; 3)$

L'idée clé

Un point $M$ est sur la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM} = t\vec{u}$ pour un réel $t$ .

Figure non à l'échelle

Droite passant par $A(x_A ; y_A ; z_A)$ , de vecteur directeur $\vec{u}(a ; b ; c)$ :

$\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$

Exemple corrigé

Le point $B(5 ; 4 ; 7)$ est-il sur la droite $x = 1 + 2t$ , $y = t + 2$ , $z = 3t + 1$ ?

1 + 2t = 5

, donc

t = 2

La première équation donne t.

y = 2 + 2 = 4

: c'est bon.

On vérifie avec y.

z = 3 \times 2 + 1 = 7

: c'est bon.

On vérifie avec z.

B

est sur la droite.

Le même t convient aux trois équations.

À toi, guidé

À toi : pour $x = 2 + t$ , $y = 3t$ , $z = 1 - t$ , trouve $y$ quand $t = 4$ .

y = 3 \times 4

On remplace t par 4.

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Le produit.

Entraînement ★

Une droite a pour représentation paramétrique $x = -3 + 5t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Quelle est l'abscisse du point de paramètre $t = 2$ ?
Une droite a pour représentation paramétrique $x = 5 + 6t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Quelle est l'abscisse du point de paramètre $t = 2$ ?
Une droite a pour représentation paramétrique $x = -1 + 4t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Quelle est l'abscisse du point de paramètre $t = 2$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Une droite a pour représentation paramétrique $x = 2 + t$ , $y = 4 - 2t$ , $z = 2t$ . Quel est un vecteur directeur de cette droite ?
1. $(1 ; -2 ; 2)$
2. $(2 ; 4 ; 0)$
3. $(2 ; -2 ; 2)$
Une droite a pour représentation paramétrique $x = 6 + t$ , $y = 4 - 2t$ , $z = 6t$ . Quel est un vecteur directeur de cette droite ?
1. $(1 ; -2 ; 6)$
2. $(6 ; 4 ; 0)$
3. $(6 ; -2 ; 6)$

Une droite passe par $A(1 ; 0 ; 2)$ et a pour vecteur directeur $\vec5(5 ; 1 ; -1)$ . Écris $x$ en fonction de $t$ .
Une droite passe par $A(5 ; 0 ; 2)$ et a pour vecteur directeur $\vec6(6 ; 1 ; -1)$ . Écris $x$ en fonction de $t$ .

La droite $x = 4 + t$ , $y = 2t$ , $z = 2$ passe par un point d'abscisse $7$ . Quelle est son ordonnée ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Une droite a pour représentation paramétrique $x = -3 + 5t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Quelle est l'abscisse du point de paramètre $t = 2$ ?
Une droite a pour représentation paramétrique $x = 5 + 6t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Quelle est l'abscisse du point de paramètre $t = 2$ ?
Une droite a pour représentation paramétrique $x = -1 + 4t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Quelle est l'abscisse du point de paramètre $t = 2$ ?

Fiche résumé

Représentation paramétrique

$x = x_A + at$ , $y = y_A + bt$ , $z = z_A + ct$ .
Constantes : un point. Coefficients de $t$ : un vecteur directeur.

Attention : pour tester un point, le même $t$ doit convenir aux trois équations.

À propos de cette leçon