Équation cartésienne d'un plan

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Un plan passe par l'origine et a pour vecteur normal $\vec{n}(1 ; 2 ; 3)$ . Le point $M(1 ; 1 ; -1)$ est-il dans ce plan ?

$\overrightarrow{OM} \cdot \vec{n} = 1 + 2 - 3 = 0$ $O M \cdot n = 1 + 2 - 3 = 0$ , donc OM est orthogonal à n." data-option="1">Oui
$\overrightarrow{OM} \cdot \vec{n}$ $O M \cdot n$ : il vaut 0, donc M est bien dans le plan." data-option="2">Non

$M$ est dans le plan passant par $A$ et normal à $\vec{n}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$ .

Un plan de vecteur normal $\vec{n}(a ; b ; c)$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ .

On trouve $d$ en écrivant que le point donné vérifie l'équation.

Trouve une équation du plan passant par $A(1 ; 2 ; 1)$ , de vecteur normal $\vec{n}(2 ; 1 ; 3)$ .

2x + y + 3z + d = 0

Les coordonnées de n donnent a, b, c.

2 + 2 + 3 + d = 0

A est dans le plan : on remplace.

d = -7

On résout.

2x + y + 3z - 7 = 0

On conclut.

À toi : le plan $x + 4y - z + d = 0$ passe par $A(1 ; 1 ; 2)$ . Trouve $d$ .

3 + d = 0

On remplace : 1 + 4 − 2 + d = 0.

d = -3

On résout.

Le plan d'équation $1x + 1y + 1z + d = 0$ passe par le point $A(3 ; 1 ; 2)$ . Quelle est la valeur de $d$ ?
Le plan d'équation $5x + 4y + 4z + d = 0$ passe par le point $A(5 ; 1 ; 2)$ . Quelle est la valeur de $d$ ?
Le plan d'équation $2x + 4y + 5z + d = 0$ passe par le point $A(5 ; 1 ; 2)$ . Quelle est la valeur de $d$ ?

Quel est un vecteur normal au plan d'équation $2x - 3y + z - 6 = 0$ ?
1. $(2 ; -3 ; 1)$
2. $(2 ; -3 ; -6)$
3. $(2 ; 3 ; 1)$
Quel est un vecteur normal au plan d'équation $6x - 2y + z - 6 = 0$ ?
1. $(6 ; -2 ; 1)$
2. $(6 ; -2 ; -6)$
3. $(6 ; 2 ; 1)$

Le point $M(1 ; 1 ; z)$ appartient au plan d'équation $2x + 1y + z - 8 = 0$ . Quelle est la valeur de $z$ ?
Le point $M(1 ; 1 ; z)$ appartient au plan d'équation $3x + 1y + z - 8 = 0$ . Quelle est la valeur de $z$ ?

Le plan de vecteur normal $\vec{n}(5 ; 2 ; 1)$ passe par $A(4 ; 3 ; 0)$ . Son équation s'écrit $5x + 2y + z + d = 0$ . Que vaut $d$ ?

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Le plan d'équation $1x + 1y + 1z + d = 0$ passe par le point $A(3 ; 1 ; 2)$ . Quelle est la valeur de $d$ ?
Le plan d'équation $5x + 4y + 4z + d = 0$ passe par le point $A(5 ; 1 ; 2)$ . Quelle est la valeur de $d$ ?
Le plan d'équation $2x + 4y + 5z + d = 0$ passe par le point $A(5 ; 1 ; 2)$ . Quelle est la valeur de $d$ ?

Équation d'un plan

Attention : ne pas oublier $d$ , sinon le plan passerait par l'origine.

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