Produit scalaire dans l'espace

À propos de cette leçon

Terminale, spécialité › Orthogonalité et distances dans l'espace

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Produit scalaire dans l'espace

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Dans un cube de côté 1, les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AE→\overrightarrow{AE} sont portés par deux arêtes perpendiculaires. Que vaut AB→⋅AE→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} ?

  1. 00
  2. 11

L'idée clé

Deux vecteurs de l'espace sont toujours dans un même plan : le produit scalaire se définit comme en première.

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times \cos\theta, où θ\theta est l'angle des deux vecteurs.

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

Bilinéarité : u⃗⋅(av⃗+bw⃗)=a u⃗⋅v⃗+b u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (a\vec{v} + b\vec{w}) = a\,\vec{u} \cdot \vec{v} + b\,\vec{u} \cdot \vec{w}. Polarisation : u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 - \lVert\vec{u}\rVert^2 - \lVert\vec{v}\rVert^2\right).

Exemple corrigé

∥u⃗∥=3\lVert\vec{u}\rVert = 3, ∥v⃗∥=4\lVert\vec{v}\rVert = 4, et l'angle entre eux vaut 60°60°. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

u⃗⋅v⃗=3×4×cos⁡60°\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 \times \cos 60°
On applique la définition.
u⃗⋅v⃗=6\vec{u} \cdot \vec{v} = 6
cos 60° = 1/2.

À toi, guidé

À toi : u⃗⋅v⃗=5\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 et u⃗⋅w⃗=2\vec{u} \cdot \vec{w} = 2. Calcule u⃗⋅(3v⃗+w⃗)\vec{u} \cdot (3\vec{v} + \vec{w}).

3×5+23 \times 5 + 2
Bilinéarité.
1717
La somme.

Entraînement ★

  1. ∥u⃗∥=2\lVert\vec{u}\rVert = 2, ∥v⃗∥=5\lVert\vec{v}\rVert = 5 et l'angle entre ces vecteurs mesure 60°60°. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.
  2. ∥u⃗∥=7\lVert\vec{u}\rVert = 7, ∥v⃗∥=4\lVert\vec{v}\rVert = 4 et l'angle entre ces vecteurs mesure 60°60°. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.
  3. ∥u⃗∥=3\lVert\vec{u}\rVert = 3, ∥v⃗∥=7\lVert\vec{v}\rVert = 7 et l'angle entre ces vecteurs mesure 60°60°. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

Attention !

Entraînement ★★

  1. On sait que u⃗⋅v⃗=9\vec{u} \cdot \vec{v} = 9 et u⃗⋅w⃗=1\vec{u} \cdot \vec{w} = 1. Calcule u⃗⋅(5v⃗+4w⃗)\vec{u} \cdot (5\vec{v} + 4\vec{w}).
  2. On sait que u⃗⋅v⃗=3\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 et u⃗⋅w⃗=5\vec{u} \cdot \vec{w} = 5. Calcule u⃗⋅(3v⃗+4w⃗)\vec{u} \cdot (3\vec{v} + 4\vec{w}).
  3. On sait que u⃗⋅v⃗=1\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 et u⃗⋅w⃗=1\vec{u} \cdot \vec{w} = 1. Calcule u⃗⋅(4v⃗+4w⃗)\vec{u} \cdot (4\vec{v} + 4\vec{w}).
  1. ∥4⃗∥=4\lVert\vec4\rVert = 4, ∥5⃗∥=5\lVert\vec5\rVert = 5 et 4⃗⋅5⃗=3\vec4 \cdot \vec5 = 3. Calcule ∥4⃗+5⃗∥2\lVert\vec4 + \vec5\rVert^2.
  1. ∥u⃗∥=7\lVert\vec{u}\rVert = 7, ∥v⃗∥=4\lVert\vec{v}\rVert = 4 et u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. On sait que u⃗⋅v⃗=9\vec{u} \cdot \vec{v} = 9 et u⃗⋅w⃗=1\vec{u} \cdot \vec{w} = 1. Calcule u⃗⋅(5v⃗+4w⃗)\vec{u} \cdot (5\vec{v} + 4\vec{w}).
  2. On sait que u⃗⋅v⃗=3\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 et u⃗⋅w⃗=5\vec{u} \cdot \vec{w} = 5. Calcule u⃗⋅(3v⃗+4w⃗)\vec{u} \cdot (3\vec{v} + 4\vec{w}).
  3. On sait que u⃗⋅v⃗=1\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 et u⃗⋅w⃗=1\vec{u} \cdot \vec{w} = 1. Calcule u⃗⋅(4v⃗+4w⃗)\vec{u} \cdot (4\vec{v} + 4\vec{w}).

Fiche résumé

Produit scalaire

  • u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \lVert\vec{v}\rVert \cos\theta.
  • Orthogonaux   ⟺  u⃗⋅v⃗=0\iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.
  • u⃗⋅(av⃗+bw⃗)=a u⃗⋅v⃗+b u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (a\vec{v} + b\vec{w}) = a\,\vec{u} \cdot \vec{v} + b\,\vec{u} \cdot \vec{w}.

Attention : le résultat est un nombre, pas un vecteur.

Fin de la leçon

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Corrigé: Produit scalaire dans l'espace

A

  1. 55
  2. 1414
  3. 212\frac{21}{2}

B

  1. 4949
  2. 2929
  3. 88

C

  1. 4747

D

  1. 00

E

  1. 4949
  2. 2929
  3. 88

CC BY-SA 4.0