Coordonnées : produit scalaire, norme et distance

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(1 ; 2 ; 2)$ . Quelle est sa norme ?

$\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ $1 + 4 + 4 = 9 = 3$ ." data-option="1"> $3$
$1^2 + 2^2 + 2^2 = 9$ $1^{2} + 2^{2} + 2^{2} = 9$ est le carré de la norme. Il reste à prendre la racine carrée." data-option="2"> $9$
$\sqrt{1 + 4 + 4}$ $1 + 4 + 4$ ." data-option="3"> $\sqrt{5}$

Dans une base orthonormée, tout se calcule avec les coordonnées.

Si $\vec{u}(x ; y ; z)$ et $\vec{v}(x' ; y' ; z')$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$ et $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ .

$\vec{u}(2 ; -1 ; 3)$ et $\vec{v}(1 ; 5 ; 1)$ sont-ils orthogonaux ?

\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + (-1) \times 5 + 3 \times 1

On multiplie les coordonnées deux à deux, puis on additionne.

\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - 5 + 3 = 0

On calcule.

Ils sont orthogonaux.

Un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité.

À toi : calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ pour $\vec{u}(1 ; 2 ; 3)$ et $\vec{v}(4 ; 0 ; 2)$ .

4 + 0 + 6

xx' + yy' + zz'.

10

La somme.

Dans une base orthonormée, $\vec{u}(-3 ; 6 ; 2)$ et $\vec{v}(3 ; 4 ; -1)$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .
Dans une base orthonormée, $\vec{u}(-4 ; 2 ; 2)$ et $\vec{v}(1 ; 2 ; -1)$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .
Dans une base orthonormée, $\vec{u}(-2 ; 5 ; 2)$ et $\vec{v}(5 ; 6 ; -1)$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Dans un repère orthonormé, $A(-2 ; -4 ; 1)$ et $B(-1 ; -2 ; 3)$ . Calcule la distance $AB$ .
Dans un repère orthonormé, $A(-4 ; -2 ; 1)$ et $B(0 ; 6 ; 9)$ . Calcule la distance $AB$ .
Dans un repère orthonormé, $A(-2 ; 0 ; 1)$ et $B(0 ; 4 ; 5)$ . Calcule la distance $AB$ .

Dans une base orthonormée, pour quelle valeur de $t$ les vecteurs $\vec{u}(3 ; 6 ; 1)$ et $\vec{v}(1 ; 1 ; t)$ sont-ils orthogonaux ?

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Dans une base orthonormée, $\vec{u}(-3 ; 6 ; 2)$ et $\vec{v}(3 ; 4 ; -1)$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .
Dans une base orthonormée, $\vec{u}(-4 ; 2 ; 2)$ et $\vec{v}(1 ; 2 ; -1)$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .
Dans une base orthonormée, $\vec{u}(-2 ; 5 ; 2)$ et $\vec{v}(5 ; 6 ; -1)$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

En repère orthonormé

Attention : ne pas oublier la racine carrée, ni la troisième coordonnée.

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