Vecteurs de l'espace et combinaisons linéaires

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$ABCDEFGH$ est un cube. Quel vecteur est égal à $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}$ ?

Figure non à l'échelle

$\overrightarrow{AF}$
$\overrightarrow{AG}$ $A G$ demande trois déplacements : AB, puis BC, puis CG. Ici, il n'y en a que deux." data-option="2"> $\overrightarrow{AG}$

L'idée clé

Les vecteurs de l'espace se calculent comme ceux du plan.

Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ .

Une combinaison linéaire de $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ est un vecteur de la forme $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$ , où $a$ , $b$ , $c$ sont des réels.

Exemple corrigé

Dans le cube, exprime $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ .

\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}

Chasles : on découpe le trajet le long des arêtes.

\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}

Dans un cube, BC = AD et CG = AE comme vecteurs.

À toi, guidé

À toi : dans une base, $\vec{u}(2 ; -1 ; 3)$ . Quelle est la troisième coordonnée de $4\vec{u}$ ?

4\vec{u}(8 ; -4 ; \dots)

On multiplie chaque coordonnée par 4.

La troisième coordonnée est

12

.

4 × 3.

Entraînement ★

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont pour coordonnées $(4 ; 0 ; 2)$ et $(1 ; 2 ; -1)$ . Quelle est la troisième coordonnée de $3\vec{u} + 3\vec{v}$ ?
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont pour coordonnées $(6 ; 0 ; 2)$ et $(1 ; 2 ; -1)$ . Quelle est la troisième coordonnée de $5\vec{u} + 5\vec{v}$ ?
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont pour coordonnées $(2 ; 0 ; 2)$ et $(1 ; 4 ; -1)$ . Quelle est la troisième coordonnée de $5\vec{u} + 5\vec{v}$ ?

Attention !

Entraînement ★★

$ABCDEFGH$ est un cube (avec $ABCD$ et $EFGH$ deux faces opposées, $E$ au-dessus de $A$ ). À quel vecteur est égal $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ ?
1. $\overrightarrow{AH}$
2. $\overrightarrow{AG}$
3. $\overrightarrow{AF}$
$ABCDEFGH$ est un cube (avec $ABCD$ et $EFGH$ deux faces opposées, $E$ au-dessus de $A$ ). À quel vecteur est égal $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ ?
1. $\overrightarrow{AH}$
2. $\overrightarrow{AG}$
3. $\overrightarrow{AF}$

Les vecteurs $\vec{u}(3 ; 2 ; 1)$ et $\vec{v}(12 ; t ; 4)$ sont colinéaires. Quelle est la valeur de $t$ ?
Les vecteurs $\vec{u}(5 ; 2 ; 1)$ et $\vec{v}(20 ; t ; 4)$ sont colinéaires. Quelle est la valeur de $t$ ?

$\vec{u}(2 ; 0 ; 1)$ et $\vec{v}(1 ; 2 ; -1)$ . Quelle est la deuxième coordonnée de $\vec{u} + \vec{v}$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont pour coordonnées $(4 ; 0 ; 2)$ et $(1 ; 2 ; -1)$ . Quelle est la troisième coordonnée de $3\vec{u} + 3\vec{v}$ ?
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont pour coordonnées $(6 ; 0 ; 2)$ et $(1 ; 2 ; -1)$ . Quelle est la troisième coordonnée de $5\vec{u} + 5\vec{v}$ ?
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont pour coordonnées $(2 ; 0 ; 2)$ et $(1 ; 4 ; -1)$ . Quelle est la troisième coordonnée de $5\vec{u} + 5\vec{v}$ ?

Fiche résumé

Vecteurs de l'espace

Chasles et la règle du parallélogramme restent vrais.
Combinaison linéaire : $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$ .

Attention : dans l'espace, il y a trois coordonnées.

À propos de cette leçon