Droites et plans de l'espace : positions relatives

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Dans le cube $ABCDEFGH$ , les droites $(AB)$ et $(CG)$ ne sont pas parallèles. Sont-elles sécantes ?

Figure non à l'échelle

Non
Oui

L'idée clé

Une droite est donnée par un point et un vecteur directeur. Un plan, par un point et deux vecteurs non colinéaires.

Deux droites de l'espace sont coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires.

Une droite et un plan sont sécants ou parallèles. Deux plans sont sécants (selon une droite) ou parallèles.

Exemple corrigé

$\vec{u}(1 ; 0 ; 2)$ dirige la droite $d$ . Le plan $P$ a pour vecteurs directeurs $\vec{v}(1 ; 0 ; 0)$ et $\vec{w}(0 ; 0 ; 1)$ . La droite $d$ est-elle parallèle à $P$ ?

\vec{u} = \vec{v} + 2\vec{w}

On cherche à écrire u à l'aide de v et de w.

Donc

d

est parallèle à

P

.

u est une combinaison linéaire de deux vecteurs directeurs de P.

À toi, guidé

À toi : $\vec{u}(3 ; 0 ; 4) = a\vec{v} + b\vec{w}$ , avec $\vec{v}(1 ; 0 ; 0)$ et $\vec{w}(0 ; 0 ; 1)$ . Quelle est la valeur de $b$ ?

a = 3

On lit la première coordonnée.

b = 4

On lit la troisième coordonnée.

Entraînement ★

Dans un cube $ABCDEFGH$ ( $E$ au-dessus de $A$ , $F$ au-dessus de $B$ , etc.), quelle est la position relative des droites $(AB)$ et $(EF)$ ?
1. Parallèles
2. Sécantes
3. Non coplanaires
Dans un cube $ABCDEFGH$ ( $E$ au-dessus de $A$ , $F$ au-dessus de $B$ , etc.), quelle est la position relative des droites $(AB)$ et $(EF)$ ?
1. Parallèles
2. Sécantes
3. Non coplanaires

Attention !

Entraînement ★★

Le plan $P$ a pour vecteurs directeurs $\vec{v}(1 ; 0 ; 0)$ et $\vec{w}(0 ; 1 ; 0)$ . La droite $d$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(3 ; 3 ; 0)$ . Que peut-on dire de $d$ et de $P$ ?
1. $d$ est parallèle à $P$
2. $d$ est forcément sécante à $P$
3. $d$ est orthogonale à $P$
Le plan $P$ a pour vecteurs directeurs $\vec{v}(1 ; 0 ; 0)$ et $\vec{w}(0 ; 1 ; 0)$ . La droite $d$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(2 ; 1 ; 0)$ . Que peut-on dire de $d$ et de $P$ ?
1. $d$ est parallèle à $P$
2. $d$ est forcément sécante à $P$
3. $d$ est orthogonale à $P$

Avec $\vec{v}(1 ; 1 ; 0)$ et $\vec{w}(0 ; 1 ; 1)$ , on a $6\vec{v} + 7\vec{w} = (x ; y ; z)$ . Quelle est la valeur de $y$ ?

Dans un cube $ABCDEFGH$ ( $E$ au-dessus de $A$ ), quelle est la position de la droite $(EF)$ par rapport au plan $(ABC)$ ?
1. Parallèle au plan, sans point commun
2. Sécante au plan
3. Contenue dans le plan

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Le plan $P$ a pour vecteurs directeurs $\vec{v}(1 ; 0 ; 0)$ et $\vec{w}(0 ; 1 ; 0)$ . La droite $d$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(3 ; 3 ; 0)$ . Que peut-on dire de $d$ et de $P$ ?
1. $d$ est parallèle à $P$
2. $d$ est forcément sécante à $P$
3. $d$ est orthogonale à $P$
Le plan $P$ a pour vecteurs directeurs $\vec{v}(1 ; 0 ; 0)$ et $\vec{w}(0 ; 1 ; 0)$ . La droite $d$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(2 ; 1 ; 0)$ . Que peut-on dire de $d$ et de $P$ ?
1. $d$ est parallèle à $P$
2. $d$ est forcément sécante à $P$
3. $d$ est orthogonale à $P$
Le plan $P$ a pour vecteurs directeurs $\vec{v}(1 ; 0 ; 0)$ et $\vec{w}(0 ; 1 ; 0)$ . La droite $d$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(4 ; 4 ; 0)$ . Que peut-on dire de $d$ et de $P$ ?
1. $d$ est parallèle à $P$
2. $d$ est forcément sécante à $P$
3. $d$ est orthogonale à $P$

Fiche résumé

Positions relatives

Deux droites : sécantes, parallèles ou non coplanaires.
Droite et plan : sécants ou parallèles.
Deux plans : sécants selon une droite, ou parallèles.

Attention : dans l'espace, non parallèles ne veut pas dire sécantes.

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