L'intégrale et ses propriétés

Découvrir

$\displaystyle\int_0^2 (-3)\,\mathrm{d}x$ : la droite $y = -3$ est sous l'axe des abscisses. Que vaut l'intégrale ?

$-6$
$6$

L'idée clé

Pour $f$ continue et positive sur $[a ; b]$ , l'intégrale est l'aire sous la courbe, en unités d'aire.

Propriétés de $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ :

Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ . Bornes échangées : $\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f$ . Linéarité : $\displaystyle\int_a^b (kf + g) = k\int_a^b f + \int_a^b g$ . Constante : $\displaystyle\int_a^b c\,\mathrm{d}x = c(b - a)$ .

Exemple corrigé

$\displaystyle\int_0^4 f = 5$ et $\displaystyle\int_4^6 f = -2$ . Calcule $\displaystyle\int_0^6 \big(2f(x) - 1\big)\,\mathrm{d}x$ .

\displaystyle\int_0^6 f = 5 + (-2) = 3

Relation de Chasles.

2 \times 3 - 1 \times 6

Linéarité ; la constante −1 sur une longueur de 6.

= 0

On calcule.

À toi, guidé

À toi : avec la même fonction $f$ , calcule $\displaystyle\int_6^0 f(x)\,\mathrm{d}x$ .

-3

On échange les bornes : le signe change.

Entraînement ★

$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 7$ et $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = -4$ . Calcule $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = -7$ et $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 8$ . Calcule $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Utilise la géométrie : calcule $\displaystyle\int_{-6}^{ 6 } \sqrt{ 36 - x^2}\,\mathrm{d}x$ .
Utilise la géométrie : calcule $\displaystyle\int_{-1}^{ 1 } \sqrt{ 1 - x^2}\,\mathrm{d}x$ .

Attention !

Entraînement ★★

$\displaystyle\int_0^{ 4 } f(x)\,\mathrm{d}x = 3$ . Calcule $\displaystyle\int_0^{ 4 } \big(3f(x) + 2\big)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_0^{ 9 } f(x)\,\mathrm{d}x = 4$ . Calcule $\displaystyle\int_0^{ 9 } \big(3f(x) + 2\big)\,\mathrm{d}x$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 7$ et $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = -4$ . Calcule $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = -7$ et $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 8$ . Calcule $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 5$ et $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 7$ . Calcule $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Fiche résumé

Intégrale

Aire algébrique : sous l'axe, elle est négative.
Bornes échangées : le signe change. Intervalles voisins : on additionne (Chasles).
$\displaystyle\int_a^b c\,\mathrm{d}x = c(b - a)$ .

Attention : une constante s'intègre sur toute la longueur.

À propos de cette leçon