Fonctions intégrales : le théorème fondamental, partie 2

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

$g(x) = \displaystyle\int_0^x 2t\,\mathrm{d}t$ est l'aire sous la droite $y = 2t$ entre 0 et $x$ , soit $x^2$ . Que vaut $g'(x)$ ?

L'aire grandit au rythme de la hauteur de la courbe.

f

est continue et positive sur

[a ; b]

, la fonction

F_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t

est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ :

F_a' = f

F_a(a) = 0

$g(x) = \displaystyle\int_1^{x} \sqrt{t}\,\mathrm{d}t$ . Calcule $g'(x)$ et $g(1)$ .

g'(x) = \sqrt{x}

g est la primitive de √t qui s'annule en 1.

g(1) = 0

La borne du haut et celle du bas sont égales.

À toi : $g(x) = \displaystyle\int_2^x (t^3 - t)\,\mathrm{d}t$ .

g'(x) = x^3 - x

g est une primitive de t³ − t.

$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 2 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Calcule $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 1 }^{x} (t^{ 3 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Calcule $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 3 } + 1)\,\mathrm{d}t$ . Calcule $g'(x)$ .

Voici la courbe de $y = f(t)$ . Soit $g(x) = \displaystyle\int_{-5}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ . Touche le point de cette courbe dont l'abscisse correspond à un maximum local de $g$ .
Voici la courbe de $y = f(t)$ . Soit $g(x) = \displaystyle\int_{-5}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ . Touche le point de cette courbe dont l'abscisse correspond à un maximum local de $g$ .

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 2 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Calcule $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 1 }^{x} (t^{ 3 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Calcule $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 3 } + 1)\,\mathrm{d}t$ . Calcule $g'(x)$ .

Fonction intégrale

$F_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ .
$F_a$ croît là où $f > 0$ et décroît là où $f < 0$ .

Attention : la dérivée redonne $f$ , pas une primitive de $f$ .

Fin de la leçon