Positivité, encadrement et suites d'intégrales

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Sur $[0 ; 1]$ , on a $x^2 \leq x$ . Comparer $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$ et $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ sans calcul : laquelle est la plus petite ?

Celle de $x^2$
Celle de $x$

L'idée clé

Pour $a \leq b$ , les inégalités se conservent par intégration.

Positivité : si $f \geq 0$ sur $[a ; b]$ , alors $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ .

Comparaison : si $f \leq g$ sur $[a ; b]$ , alors $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ .

Encadrement : si $m \leq f \leq M$ sur $[a ; b]$ , alors $m(b - a) \leq \displaystyle\int_a^b f \leq M(b - a)$ .

Exemple corrigé

Encadre $I = \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{x^2}\,\mathrm{d}x$ .

1 \leq \mathrm{e}^{x^2} \leq \mathrm{e}

Sur [0 ; 1], x² est entre 0 et 1, et exp est croissante.

1 \leq I \leq \mathrm{e}

On intègre sur un intervalle de longueur 1.

À toi, guidé

À toi : sur $[1 ; 3]$ , $2 \leq f(x) \leq 5$ . Quelle est la borne supérieure de $\displaystyle\int_1^3 f$ ?

10

M(b − a) = 5 × 2.

Entraînement ★

Sur $[0 ; 5]$ , on a $3 \leq f(x) \leq 8$ . Quelle est la plus petite valeur possible de $\displaystyle\int_0^{ 5 } f(x)\,\mathrm5x$ d'après cet encadrement ?
Sur $[0 ; 4]$ , on a $2 \leq f(x) \leq 4$ . Quelle est la plus petite valeur possible de $\displaystyle\int_0^{ 4 } f(x)\,\mathrm2x$ d'après cet encadrement ?
Sur $[0 ; 2]$ , on a $5 \leq f(x) \leq 9$ . Quelle est la plus petite valeur possible de $\displaystyle\int_0^{ 2 } f(x)\,\mathrm4x$ d'après cet encadrement ?

Attention !

Entraînement ★★

$f$ est continue et négative sur $[3 ; 7]$ . Que peut-on dire de $\displaystyle\int_{ 3 }^{ 7 } f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
1. Elle est négative ou nulle
2. Elle est positive, car c'est une aire
3. Elle est forcément nulle
$f$ est continue et négative sur $[4 ; 6]$ . Que peut-on dire de $\displaystyle\int_{ 4 }^{ 6 } f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
1. Elle est négative ou nulle
2. Elle est positive, car c'est une aire
3. Elle est forcément nulle

On pose $I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x$ . Calcule $I_{ 7 }$ .

Sur $[0 ; 1]$ , on a $x^2 \leq x$ . Comment se comparent $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$ et $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ ?
1. La première est inférieure ou égale à la seconde
2. La première est supérieure à la seconde
3. On ne peut pas comparer sans calculer

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Sur $[0 ; 5]$ , on a $3 \leq f(x) \leq 8$ . Quelle est la plus petite valeur possible de $\displaystyle\int_0^{ 5 } f(x)\,\mathrm5x$ d'après cet encadrement ?
Sur $[0 ; 4]$ , on a $2 \leq f(x) \leq 4$ . Quelle est la plus petite valeur possible de $\displaystyle\int_0^{ 4 } f(x)\,\mathrm2x$ d'après cet encadrement ?
Sur $[0 ; 2]$ , on a $5 \leq f(x) \leq 9$ . Quelle est la plus petite valeur possible de $\displaystyle\int_0^{ 2 } f(x)\,\mathrm4x$ d'après cet encadrement ?

Fiche résumé

Inégalités et intégrales ( $a \leq b$ )

$f \leq g$ donne $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ .
$m \leq f \leq M$ donne $m(b - a) \leq \displaystyle\int_a^b f \leq M(b - a)$ .

Attention : ne pas oublier la longueur $b - a$ .

À propos de cette leçon