Limites à l'infini

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Que devient $\dfrac{1}{x}$ quand $x$ devient très grand : $\dfrac{1}{10}, \dfrac{1}{100}, \dfrac{1}{1000}, \dots$ ?

Il se rapproche de 0
Il n'a pas de limite, puisqu'il n'atteint jamais 0

L'idée clé

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $\ell$ quand $x$ devient grand. La droite d'équation $y = \ell$ est alors asymptote horizontale à la courbe.

Pour un quotient de polynômes, on factorise en haut et en bas par le terme de plus haut degré. Degré du haut plus petit : limite 0. Degrés égaux : quotient des coefficients dominants. Degré du haut plus grand : limite infinie.

Exemple corrigé

Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{6x^2 - x}{2x^2 + 5}$ .

\dfrac{6 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{5}{x^2}}

On factorise par x² en haut et en bas, puis on simplifie.

Le quotient tend vers

\dfrac{6}{2}

1/x et 5/x² tendent vers 0.

La limite est

3

On simplifie.

À toi, guidé

À toi : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x + 1}{2x - 7}$ .

Quotient des coefficients dominants :

\dfrac{4}{2}

Même degré en haut et en bas.

La limite est

2

4 ÷ 2.

Entraînement ★

Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 4x^2 + 1}{ 5x^2 + 4}$ .
Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 2x^2 + 1}$ .
Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 5x^2 + 4}$ .

Attention !

Entraînement ★★

Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 6x + 3}{x^2 + 2}$ .
Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 9x + 6}{x^2 + 6}$ .
Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 7x + 6}{x^2 + 1}$ .

Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 5x^3}{x^2 + 5}$ ?
1. $+\infty$ : le quotient grandit sans limite
2. $5$
3. $0$
Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 2x^3}{x^2 + 2}$ ?
1. $+\infty$ : le quotient grandit sans limite
2. $2$
3. $0$

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 4x^2 + 1}{ 5x^2 + 4}$ .
Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 2x^2 + 1}$ .
Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 5x^2 + 4}$ .

Fiche résumé

Limites en l'infini

On factorise par le terme de plus haut degré.
Degré du haut plus petit : 0. Égaux : quotient des coefficients dominants. Plus grand : $\pm\infty$ .
Une limite finie $\ell$ donne l'asymptote $y = \ell$ .

Attention : ce ne sont pas les constantes qui décident de la limite en l'infini.

À propos de cette leçon