Limites infinies et asymptotes verticales

À propos de cette leçon

Terminale, spécialité › Limites des fonctions

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Limites infinies et asymptotes verticales

Découvrir

Que devient 1x\dfrac{1}{x} quand xx se rapproche de 0 par valeurs positives : 10,1,10,01,…\dfrac{1}{0{,}1}, \dfrac{1}{0{,}01}, \dots ?

  1. Il grandit sans limite
  2. Il se rapproche de 0

L'idée clé

Près d'une valeur qui annule le dénominateur, un quotient peut devenir très grand.

Si f(x)f(x) grandit sans limite quand xx tend vers aa par la droite ou par la gauche, on écrit lim⁡f(x)=+∞\lim f(x) = +\infty (ou −∞-\infty) : la droite d'équation x=ax = a est asymptote verticale. Pour le signe, on teste une valeur juste à droite ou à gauche de aa.

Exemple corrigé

Trouve lim⁡x→3x<32x−3\displaystyle\lim_{\substack{x \to 3 \\ x < 3}} \dfrac{2}{x - 3}.

x−3x - 3 est un petit nombre négatif.
Juste à gauche de 3, par exemple pour x = 2,99.
Le quotient est grand et négatif.
On divise 2 par ce nombre.
La limite est −∞-\infty
On écrit la limite.

À toi, guidé

À toi : f(x)=x+1x2−16f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - 16}. Où sont les asymptotes verticales ?

x=4x = 4 ou x=−4x = -4
x² − 16 = 0.
Asymptotes x=4x = 4 et x=−4x = -4
Le numérateur n'y est pas nul. Tape la valeur négative.

Entraînement ★

  1. Que vaut la limite de 7x−6\dfrac{ 7 }{x - 6} quand xx tend vers 66 par la droite (x>6x > 6) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00
  2. Que vaut la limite de 4x−3\dfrac{ 4 }{x - 3} quand xx tend vers 33 par la droite (x>3x > 3) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00
  3. Que vaut la limite de 6x−7\dfrac{ 6 }{x - 7} quand xx tend vers 77 par la droite (x>7x > 7) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00

Attention !

Entraînement ★★

  1. Que vaut la limite de 6x−8\dfrac{ 6 }{x - 8} quand xx tend vers 88 par la gauche (x<8x < 8) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00
  2. Que vaut la limite de 7x−2\dfrac{ 7 }{x - 2} quand xx tend vers 22 par la gauche (x<2x < 2) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00
  3. Que vaut la limite de 9x−5\dfrac{ 9 }{x - 5} quand xx tend vers 55 par la gauche (x<5x < 5) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00
  1. f(x)=x+8x2−9f(x) = \dfrac{x + 8}{x^2 - 9} a des asymptotes verticales. Quelle est la valeur positive cc telle que x=cx = c soit asymptote ?
  2. f(x)=x+4x2−4f(x) = \dfrac{x + 4}{x^2 - 4} a des asymptotes verticales. Quelle est la valeur positive cc telle que x=cx = c soit asymptote ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Que vaut la limite de 6x−8\dfrac{ 6 }{x - 8} quand xx tend vers 88 par la gauche (x<8x < 8) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00
  2. Que vaut la limite de 7x−2\dfrac{ 7 }{x - 2} quand xx tend vers 22 par la gauche (x<2x < 2) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00
  3. Que vaut la limite de 9x−5\dfrac{ 9 }{x - 5} quand xx tend vers 55 par la gauche (x<5x < 5) ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 00

Fiche résumé

Limites infinies

  • Dénominateur → 0, numérateur non nul : ±∞\pm\infty, asymptote verticale.
  • On teste une valeur juste à côté de aa pour le signe.

Attention : à gauche et à droite de l'asymptote, les signes peuvent différer.

Fin de la leçon

Leçon suivante: Opérations sur les limites et formes indéterminées Retour au chapitre

Corrigé: Limites infinies et asymptotes verticales

A

  1. +∞+\infty
  2. +∞+\infty
  3. +∞+\infty

B

  1. −∞-\infty
  2. −∞-\infty
  3. −∞-\infty

C

  1. 33
  2. 22

D

  1. −∞-\infty
  2. −∞-\infty
  3. −∞-\infty

CC BY-SA 4.0