Opérations sur les limites et formes indéterminées

À propos de cette leçon

Terminale, spécialité › Limites des fonctions

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Opérations sur les limites et formes indéterminées

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Quelle est la limite de x3−x2x^3 - x^2 en +∞+\infty ?

  1. +∞+\infty
  2. 00

L'idée clé

Pour les fonctions, les règles sont les mêmes que pour les suites.

Sommes, produits et quotients de limites se calculent, sauf les formes indéterminées : ∞−∞\infty - \infty, 0×∞0 \times \infty, ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}, 00\dfrac{0}{0}.

En cas d'indétermination, on factorise par le terme prépondérant. En l'infini, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.

Exemple corrigé

Trouve la limite de f(x)=−2x3+5x+1f(x) = -2x^3 + 5x + 1 en +∞+\infty.

f(x)=x3(−2+5x2+1x3)f(x) = x^3\left(-2 + \dfrac{5}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}\right)
−∞ + ∞ : forme indéterminée. On factorise par x³.
+∞ × (−2)
La parenthèse tend vers −2.
lim⁡x→+∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty
On conclut.

À toi, guidé

À toi : f(x)=3x2−7xf(x) = 3x^2 - 7x. Quelle est la limite de f(x)x2\dfrac{f(x)}{x^2} en +∞+\infty ?

f(x)x2=3−7x\dfrac{f(x)}{x^2} = 3 - \dfrac{7}{x}
On divise chaque terme par x².
La limite est 33
7/x tend vers 0.

Entraînement ★

  1. Quelle est la limite de f(x)=−7x3+6x2f(x) = -7x^3 + 6x^2 en +∞+\infty ?
    1. −∞-\infty
    2. +∞+\infty
    3. 00
  2. Quelle est la limite de f(x)=−7x3+8x2f(x) = -7x^3 + 8x^2 en +∞+\infty ?
    1. −∞-\infty
    2. +∞+\infty
    3. 00
  3. Quelle est la limite de f(x)=−6x3+5x2f(x) = -6x^3 + 5x^2 en +∞+\infty ?
    1. −∞-\infty
    2. +∞+\infty
    3. 00

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la limite de 6x2+1x3x2+1\dfrac{ 6x^2 + 1x }{ 3x^2 + 1 } en +∞+\infty ?
  2. Quelle est la limite de 6x2+8x3x2+1\dfrac{ 6x^2 + 8x }{ 3x^2 + 1 } en +∞+\infty ?
  1. On sait que lim⁡x→+∞g(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty. Quelle est la limite de 2+1g(x)2 + \dfrac{1}{g(x)} ?
    1. 22
    2. +∞+\infty
    3. 00
  2. On sait que lim⁡x→+∞g(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty. Quelle est la limite de 7+1g(x)7 + \dfrac{1}{g(x)} ?
    1. 77
    2. +∞+\infty
    3. 00
  1. Quelle est la limite de f(x)=2x2−xf(x) = 2x^2 - x en −∞-\infty ?
    1. +∞+\infty
    2. −∞-\infty
    3. 22

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelle est la limite de f(x)=−7x3+6x2f(x) = -7x^3 + 6x^2 en +∞+\infty ?
    1. −∞-\infty
    2. +∞+\infty
    3. 00
  2. Quelle est la limite de f(x)=−7x3+8x2f(x) = -7x^3 + 8x^2 en +∞+\infty ?
    1. −∞-\infty
    2. +∞+\infty
    3. 00
  3. Quelle est la limite de f(x)=−6x3+5x2f(x) = -6x^3 + 5x^2 en +∞+\infty ?
    1. −∞-\infty
    2. +∞+\infty
    3. 00

Fiche résumé

Formes indéterminées

  • ∞−∞\infty - \infty, 0×∞0 \times \infty, ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}, 00\dfrac{0}{0} : on ne conclut pas directement.
  • On factorise par le terme prépondérant.

Attention : ne jamais écrire ∞−∞=0\infty - \infty = 0.

Fin de la leçon

Leçon suivante: Croissances comparées de l'exponentielle et des puissances Retour au chapitre

Corrigé: Opérations sur les limites et formes indéterminées

A

  1. −∞-\infty
  2. −∞-\infty
  3. −∞-\infty

B

  1. 22
  2. 22

C

  1. 22
  2. 77

D

  1. +∞+\infty

E

  1. −∞-\infty
  2. −∞-\infty
  3. −∞-\infty

CC BY-SA 4.0