Croissances comparées de l'exponentielle et des puissances

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Compare $x^3$ et $\mathrm{e}^x$ pour $x = 10$ : $x^3 = 1000$ , alors que $\mathrm{e}^{10} \approx 22\,000$ . Que devient $\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^3}$ en $+\infty$ ?

Il tend vers $+\infty$
Il tend vers 0

L'idée clé

En $+\infty$ , l'exponentielle l'emporte sur toute puissance.

Pour tout entier $n \geq 1$ : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^x}{x^n} = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^n\mathrm{e}^x = 0$ .

Exemple corrigé

Trouve la limite de $f(x) = \mathrm{e}^x - x^2$ en $+\infty$ .

f(x) = \mathrm{e}^x\left(1 - \dfrac{x^2}{\mathrm{e}^x}\right)

∞ − ∞ : on factorise par le terme prépondérant, eˣ.

La parenthèse tend vers

1

Croissances comparées : x²/eˣ tend vers 0.

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

+∞ × 1.

À toi, guidé

À toi : limite de $x\mathrm{e}^{x}$ en $-\infty$ . Tape sa valeur.

La limite est

0

Croissances comparées, avec n = 1.

Entraînement ★

Quelle est la limite de $\dfrac{x^{ 5 }}{\mathrm{e}^x}$ en $+\infty$ ?
1. $0$
2. $+\infty$
3. $1$
Quelle est la limite de $\dfrac{x^{ 6 }}{\mathrm{e}^x}$ en $+\infty$ ?
1. $0$
2. $+\infty$
3. $1$
Quelle est la limite de $\dfrac{x^{ 8 }}{\mathrm{e}^x}$ en $+\infty$ ?
1. $0$
2. $+\infty$
3. $1$

Attention !

Entraînement ★★

Quelle est la limite de $6 + \dfrac{x^{ 2 }}{\mathrm{e}^x}$ en $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $2 + \dfrac{x^{ 5 }}{\mathrm{e}^x}$ en $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $5 + \dfrac{x^{ 5 }}{\mathrm{e}^x}$ en $+\infty$ ?

Quelle est la limite de $\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^{ 5 }}$ en $+\infty$ ?
1. $+\infty$
2. 0
3. 1

Quelle est la limite de $3 + x^{ 2 }\mathrm{e}^x$ en $-\infty$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Quelle est la limite de $\dfrac{x^{ 5 }}{\mathrm{e}^x}$ en $+\infty$ ?
1. $0$
2. $+\infty$
3. $1$
Quelle est la limite de $\dfrac{x^{ 6 }}{\mathrm{e}^x}$ en $+\infty$ ?
1. $0$
2. $+\infty$
3. $1$
Quelle est la limite de $\dfrac{x^{ 8 }}{\mathrm{e}^x}$ en $+\infty$ ?
1. $0$
2. $+\infty$
3. $1$

Fiche résumé

Croissances comparées

$\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^n} \to +\infty$ en $+\infty$ .
$x^n\mathrm{e}^x \to 0$ en $-\infty$ .

Attention : quel que soit l'exposant, l'exponentielle gagne.

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