Résoudre des équations e^(kx) = a

À propos de cette leçon

Terminale, spécialité › Fonction logarithme

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Résoudre des équations e^(kx) = a

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une population de bactéries double chaque heure : au bout de tt heures, elle est multipliée par environ e0,69t\mathrm{e}^{0{,}69t}.

Au bout de combien de temps sera-t-elle multipliée par 7 ? Essaie d'estimer avant de continuer : entre quelles heures entières ?

L'idée clé

Pour « défaire » ex\mathrm{e}^x, on utilise sa fonction réciproque : ln⁡\ln.

ex=a  ⟺  x=ln⁡a\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a, pour a>0a > 0

Comme ln⁡(ex)=x\ln(\mathrm{e}^{x}) = x, composer par ln⁡\ln fait « disparaître » l'exponentielle.

Exemple corrigé

Résous e2x=7\mathrm{e}^{2x} = 7.

2x=ln⁡72x = \ln 7
On compose par ln : ln défait exp.
x=ln⁡72x = \dfrac{\ln 7}{2}
On divise par 2.

À toi, guidé

À toi : résous e3x=5\mathrm{e}^{3x} = 5. Complète la ligne manquante.

3x=ln⁡53x = \ln 5
On compose par ln.
x=ln⁡53x = \dfrac{\ln 5}{3}
On divise par 3.

Entraînement ★

  1. Résous e5x=25\mathrm{e}^{ 5x } = 25.
  2. Résous e5x=7\mathrm{e}^{ 5x } = 7.
  3. Résous e5x=9\mathrm{e}^{ 5x } = 9.
  4. Résous e3x=15\mathrm{e}^{ 3x } = 15.
  5. Résous e5x=10\mathrm{e}^{ 5x } = 10.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Résous e4x+4=12\mathrm{e}^{ 4x + 4 } = 12.
  2. Résous e6x+5=37\mathrm{e}^{ 6x + 5 } = 37.
  3. Résous e2x+7=16\mathrm{e}^{ 2x + 7 } = 16.
  4. Résous e3x+6=27\mathrm{e}^{ 3x + 6 } = 27.
  5. Résous e6x+7=39\mathrm{e}^{ 6x + 7 } = 39.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous e4x+4=12\mathrm{e}^{ 4x + 4 } = 12.
  2. Résous e6x+5=37\mathrm{e}^{ 6x + 5 } = 37.
  3. Résous e2x+7=16\mathrm{e}^{ 2x + 7 } = 16.

Fiche résumé

Résoudre ekx=a\mathrm{e}^{kx} = a (avec a>0a > 0)

  1. On compose par ln⁡\ln : kx=ln⁡akx = \ln a.
  2. On divise par kk : x=ln⁡akx = \dfrac{\ln a}{k}.

Attention : e\mathrm{e} n'est pas un facteur. On ne divise jamais par e\mathrm{e}.

Il reste une étape facultative : un défi. Tente-le, ou termine la leçon maintenant.

Défi ★★★

  1. Résous 3e4x+6=603\mathrm{e}^{ 4x } + 6 = 60.
  2. Résous 5e2x+6=255\mathrm{e}^{ 2x } + 6 = 25.
  3. Résous 4e2x+8=364\mathrm{e}^{ 2x } + 8 = 36.

Fin de la leçon

Leçon suivante: Équations et inéquations avec ln et exp Retour au chapitre

Corrigé: Résoudre des équations e^(kx) = a

A

  1. ln⁡(25)5\frac{\ln{\left(25 \right)}}{5}
  2. ln⁡(7)5\frac{\ln{\left(7 \right)}}{5}
  3. ln⁡(9)5\frac{\ln{\left(9 \right)}}{5}
  4. ln⁡(15)3\frac{\ln{\left(15 \right)}}{3}
  5. ln⁡(10)5\frac{\ln{\left(10 \right)}}{5}

B

  1. −1+ln⁡(12)4-1 + \frac{\ln{\left(12 \right)}}{4}
  2. −56+ln⁡(37)6- \frac{5}{6} + \frac{\ln{\left(37 \right)}}{6}
  3. −72+ln⁡(16)2- \frac{7}{2} + \frac{\ln{\left(16 \right)}}{2}
  4. −2+ln⁡(27)3-2 + \frac{\ln{\left(27 \right)}}{3}
  5. −76+ln⁡(39)6- \frac{7}{6} + \frac{\ln{\left(39 \right)}}{6}

C

  1. −1+ln⁡(12)4-1 + \frac{\ln{\left(12 \right)}}{4}
  2. −56+ln⁡(37)6- \frac{5}{6} + \frac{\ln{\left(37 \right)}}{6}
  3. −72+ln⁡(16)2- \frac{7}{2} + \frac{\ln{\left(16 \right)}}{2}

D

  1. ln⁡(18)4\frac{\ln{\left(18 \right)}}{4}
  2. ln⁡(195)2\frac{\ln{\left(\frac{19}{5} \right)}}{2}
  3. ln⁡(7)2\frac{\ln{\left(7 \right)}}{2}

CC BY-SA 4.0