Équations différentielles : solutions et équilibres

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une équation différentielle relie une fonction et ses dérivées. La fonction $y = \mathrm{e}^{2x}$ est-elle solution de $y' = 2y$ ?

Oui
Non

L'idée clé

Une solution est une fonction, pas un nombre.

Une équation différentielle relie

y

, ses dérivées et la variable. Une fonction est solution si, une fois remplacée, les deux membres sont égaux pour tout

x

. Une solution constante

y = c

vérifie

y' = 0

.

Exemple corrigé

Trouve la solution constante de $y' = 3(y - 5)$ , et vérifie que $y = 5 + 2\mathrm{e}^{3t}$ est solution.

3(y - 5) = 0

, donc

y = 5

Solution constante : y' = 0.

y' = 6\mathrm{e}^{3t}

On dérive la fonction proposée.

C'est bien une solution.

Second membre : 3 × 2e³ᵗ = 6e³ᵗ. Ils sont égaux.

À toi, guidé

À toi : la solution constante de $y' = 2(4 - y)$ .

y = 4

On pose 2(4 − y) = 0.

Entraînement ★

Quelle fonction est solution de $y' = 5y$ ?
1. $y = 3\mathrm{e}^{ 5x}$
2. $y = \mathrm{e}^{3x}$
3. $y = 5xy$
4. $y = \mathrm{e}^{x} + 5$
Quelle fonction est solution de $y' = 6y$ ?
1. $y = 3\mathrm{e}^{ 6x}$
2. $y = \mathrm{e}^{3x}$
3. $y = 6xy$
4. $y = \mathrm{e}^{x} + 6$

$y' = 5(y - 3)$ . Trouve la solution constante $y = c$ .
$y' = 8(y - 2)$ . Trouve la solution constante $y = c$ .

Attention !

Entraînement ★★

Pour quelle valeur de $k > 0$ la fonction $y = \mathrm{e}^{kx}$ est-elle solution de $y'' - 9y = 0$ ?
Pour quelle valeur de $k > 0$ la fonction $y = \mathrm{e}^{kx}$ est-elle solution de $y'' - 36y = 0$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$y' = 5(y - 3)$ . Trouve la solution constante $y = c$ .
$y' = 8(y - 2)$ . Trouve la solution constante $y = c$ .
$y' = 8(y - 1)$ . Trouve la solution constante $y = c$ .

Fiche résumé

Équations différentielles

Vérifier une solution : dériver, remplacer, comparer.
Solution constante : on résout $y' = 0$ .

Attention : une solution constante vérifie $y' = 0$ , pas $y = 0$ .

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