Combiner des variables aléatoires

Deux dés indépendants ont chacun un écart type d'environ $1{,}7$ . L'écart type de leur somme vaut-il environ $3{,}4$ ?

L'espérance est toujours linéaire ; les variances s'additionnent quand les variables sont indépendantes.

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et $E(aX + b) = aE(X) + b$ .

$V(aX + b) = a^2V(X)$ , donc $\sigma(aX + b) = |a|\sigma(X)$ .

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ , et $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$ aussi.

Trajet du matin : espérance 20 min, écart type 3 min ; du soir : espérance 25 min, écart type 4 min. Ils sont indépendants.

E(T) = 45

L'espérance est linéaire.

V(T) = 9 + 16 = 25

Les variances s'additionnent.

\sigma(T) = 5

Racine carrée.

À toi : $\sigma(X) = 6$ , $\sigma(Y) = 8$ , indépendantes. Calcule $\sigma(X - Y)$ .

10

√(36 + 64).

$X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $\sigma(X) = 27$ et $\sigma(Y) = 36$ . Calcule $\sigma(X + Y)$ .
$X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $\sigma(X) = 18$ et $\sigma(Y) = 24$ . Calcule $\sigma(X + Y)$ .

$X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $\sigma(X) = 24$ et $\sigma(Y) = 10$ . Calcule $\sigma(X - Y)$ .
$X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $\sigma(X) = 72$ et $\sigma(Y) = 30$ . Calcule $\sigma(X - Y)$ .

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $\sigma(X) = 27$ et $\sigma(Y) = 36$ . Calcule $\sigma(X + Y)$ .
$X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $\sigma(X) = 18$ et $\sigma(Y) = 24$ . Calcule $\sigma(X + Y)$ .
$X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $\sigma(X) = 12$ et $\sigma(Y) = 16$ . Calcule $\sigma(X + Y)$ .

Somme de variables aléatoires

Espérance : toujours linéaire.
Indépendantes : les variances s'additionnent, pour une somme comme pour une différence.

Attention : n'additionne jamais directement les écarts types.

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