Opérations sur les limites de suites

À propos de cette leçon

Terminale, spécialité › Suites

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Opérations sur les limites de suites

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Si un→+∞u_n \to +\infty et vn→+∞v_n \to +\infty, peut-on dire que un−vn→0u_n - v_n \to 0 ? Teste avec un=2nu_n = 2n et vn=nv_n = n.

  1. Non, on ne peut pas conclure
  2. Oui

L'idée clé

Les limites se combinent, sauf dans quatre cas.

Si les limites sont finies, on additionne, on multiplie et on divise (sans diviser par 0). Et ℓ+∞=∞\ell + \infty = \infty ; ℓ×∞=±∞\ell \times \infty = \pm\infty si ℓ≠0\ell \neq 0 ; ℓ∞=0\dfrac{\ell}{\infty} = 0.

Formes indéterminées : ∞−∞\infty - \infty, 0×∞0 \times \infty, ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}, 00\dfrac{0}{0}. On transforme alors l'écriture, en général en factorisant le terme prépondérant.

Exemple corrigé

Trouve la limite de un=n2−3nu_n = n^2 - 3n.

On factorise par n2n^2 : un=n2(1−3n)u_n = n^2\left(1 - \dfrac{3}{n}\right)
n² − 3n donne ∞ − ∞ : forme indéterminée.
1−3n→11 - \dfrac{3}{n} \to 1
La parenthèse tend vers 1.
lim⁡n→+∞un=+∞\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty
+∞ × 1.

À toi, guidé

À toi : limite de un=4n+12n+3u_n = \dfrac{4n + 1}{2n + 3}.

un=4+1n2+3nu_n = \dfrac{4 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{3}{n}}
On factorise par n en haut et en bas.
La limite est 22
4 ÷ 2.

Entraînement ★

  1. Quelle est la limite de la suite un=9n+73n+6u_n = \dfrac{ 9n + 7 }{ 3n + 6 } ?
  2. Quelle est la limite de la suite un=2n+73n+6u_n = \dfrac{ 2n + 7 }{ 3n + 6 } ?
  3. Quelle est la limite de la suite un=2n+16n+4u_n = \dfrac{ 2n + 1 }{ 6n + 4 } ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Laquelle de ces limites est une forme indéterminée si on l'écrit directement ?
    1. n2−6nn^2 - 6n
    2. n2+6nn^2 + 6n
    3. 6n2\dfrac{ 6 }{n^2}
  2. Laquelle de ces limites est une forme indéterminée si on l'écrit directement ?
    1. n2−2nn^2 - 2n
    2. n2+2nn^2 + 2n
    3. 2n2\dfrac{ 2 }{n^2}
  1. On sait que un→2u_n \to 2 et vn→8v_n \to 8. Quelle est la limite de 4un−vn4u_n - v_n ?
  2. On sait que un→4u_n \to 4 et vn→6v_n \to 6. Quelle est la limite de 6un−vn6u_n - v_n ?
  1. Quelle est la limite de un=5n2+n6n2+1u_n = \dfrac{ 5n^2 + n }{ 6n^2 + 1 } ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelle est la limite de la suite un=9n+73n+6u_n = \dfrac{ 9n + 7 }{ 3n + 6 } ?
  2. Quelle est la limite de la suite un=2n+73n+6u_n = \dfrac{ 2n + 7 }{ 3n + 6 } ?
  3. Quelle est la limite de la suite un=2n+16n+4u_n = \dfrac{ 2n + 1 }{ 6n + 4 } ?

Fiche résumé

Opérations sur les limites

  • On combine les limites, sauf les formes indéterminées.
  • Formes indéterminées : ∞−∞\infty - \infty, 0×∞0 \times \infty, ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}, 00\dfrac{0}{0}.
  • Méthode : factoriser le terme prépondérant.

Attention : ∞\infty n'est pas un nombre, on ne « simplifie » pas.

Fin de la leçon

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Corrigé: Opérations sur les limites de suites

A

  1. 33
  2. 23\frac{2}{3}
  3. 13\frac{1}{3}

B

  1. n2−6nn^2 - 6n
  2. n2−2nn^2 - 2n

C

  1. 00
  2. 1818

D

  1. 56\frac{5}{6}

E

  1. 33
  2. 23\frac{2}{3}
  3. 13\frac{1}{3}

CC BY-SA 4.0