Dérivées de sinus et cosinus

À propos de cette leçon

Terminale, spécialité › Fonctions sinus et cosinus

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Dérivées de sinus et cosinus

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Les courbes violettes sont celles de y=sin⁡xy = \sin x et y=cos⁡xy = \cos x ; la droite bleue est la tangente à la courbe du sinus en x=ax = a. Déplace aa et compare le coefficient directeur de la tangente à la hauteur du cosinus en x=ax = a.

La courbe du sinus, celle du cosinus et la tangente à la courbe du sinus en x = a. Le coefficient directeur de la tangente est toujours égal à la hauteur du cosinus en a.

En a=π2≈1,57a = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57, le sinus est à son maximum. Quelle est la pente en ce point, et que vaut cos⁡π2\cos\dfrac{\pi}{2} ?

  1. Les deux valent 0
  2. Les deux valent 1

L'idée clé

Avec xx en radians :

sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos et cos⁡′=−sin⁡\cos' = -\sin. Pour uu dérivable : (sin⁡u)′=u′cos⁡u(\sin u)' = u'\cos u et (cos⁡u)′=−u′sin⁡u(\cos u)' = -u'\sin u.

Exemple corrigé

f(x)=3sin⁡x−4cos⁡xf(x) = 3\sin x - 4\cos x. Calcule f′(x)f'(x).

(3sin⁡x)′=3cos⁡x(3\sin x)' = 3\cos x
sin' = cos.
(−4cos⁡x)′=4sin⁡x(-4\cos x)' = 4\sin x
cos' = −sin, et − × − = +.
f′(x)=3cos⁡x+4sin⁡xf'(x) = 3\cos x + 4\sin x
On rassemble.

À toi, guidé

À toi : f(x)=2cos⁡x+x2f(x) = 2\cos x + x^2.

f′(x)=−2sin⁡x+2xf'(x) = -2\sin x + 2x
−2 sin x et 2x.

Entraînement ★

  1. f(x)=3sin⁡x+5cos⁡xf(x) = 3\sin x + 5\cos x. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=5sin⁡x+7cos⁡xf(x) = 5\sin x + 7\cos x. Calcule f′(x)f'(x).
  3. f(x)=5sin⁡x+9cos⁡xf(x) = 5\sin x + 9\cos x. Calcule f′(x)f'(x).

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de y=sin⁡xy = \sin x en x=π2x = \dfrac{\pi}{ 2 } ? Donne la valeur exacte.
  2. Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de y=sin⁡xy = \sin x en x=π3x = \dfrac{\pi}{ 3 } ? Donne la valeur exacte.
  1. f(x)=4x−4cos⁡xf(x) = 4x - 4\cos x. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=4x−8cos⁡xf(x) = 4x - 8\cos x. Calcule f′(x)f'(x).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=3sin⁡x+5cos⁡xf(x) = 3\sin x + 5\cos x. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=5sin⁡x+7cos⁡xf(x) = 5\sin x + 7\cos x. Calcule f′(x)f'(x).
  3. f(x)=5sin⁡x+9cos⁡xf(x) = 5\sin x + 9\cos x. Calcule f′(x)f'(x).

Fiche résumé

Dérivées de sin et de cos

  • sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos.
  • cos⁡′=−sin⁡\cos' = -\sin.

Attention : le signe moins va avec la dérivée du cosinus ; ces formules supposent xx en radians.

Fin de la leçon

Leçon suivante: Équations cos x = a et étude de fonctions trigonométriques Retour au chapitre

Corrigé: Dérivées de sinus et cosinus

A

  1. −5sin⁡(x)+3cos⁡(x)- 5 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}
  2. −7sin⁡(x)+5cos⁡(x)- 7 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}
  3. −9sin⁡(x)+5cos⁡(x)- 9 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}

B

  1. 00
  2. 12\frac{1}{2}

C

  1. 4sin⁡(x)+44 \sin{\left(x \right)} + 4
  2. 8sin⁡(x)+48 \sin{\left(x \right)} + 4

D

  1. −5sin⁡(x)+3cos⁡(x)- 5 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}
  2. −7sin⁡(x)+5cos⁡(x)- 7 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}
  3. −9sin⁡(x)+5cos⁡(x)- 9 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}

CC BY-SA 4.0